¿Qué teorema es este? Si $\phi(x)$ es diferenciable en $0$, entonces existe $\psi(x)$, continua en $0$, tal que $\phi(x) = \phi(0) + x\psi(x)$

Question

Estoy estudiando por mi cuenta las funciones generalizadas, y es la tercera vez más o menos que me encuentro con la siguiente afirmación:

Si $\phi(x)$ es diferenciable en $0$, entonces existe una función $\psi(x)$ continua en $0$ tal que $\phi(x) = \phi(0) + x\psi(x)$.

¿Qué teorema o resultado se usa aquí? ¿Existe una versión de orden superior (es decir, en el caso en que $\phi$ es dos o más veces diferenciable).

Al principio solía pensar que era algo así como una expansión de Taylor, digamos:

$$\phi(x) = \phi(0)+x\phi'(0) + x^2\epsilon(x)$$

pero luego $\phi'(0)+x\epsilon(x)$ no está garantizada que esté definida en $0$; bueno, si lo estuviera, entonces tendríamos la continuidad en $0$ debido a que $\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$.

Answer 1

Pista

$$\phi(x) = \phi(0) + x\psi(x) \Leftrightarrow \\ \psi(x)= \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x-0} \forall x \neq 0$$

$\phi$ es diferenciable en $x=0$ si y solo si $$\lim_{x \to 0} \psi(x)= \phi'(0)$$

Para hacer $\psi$ continua en $x=0$ necesitas definir $\psi(0)$ de tal manera que $$\lim_{x \to 0} \psi(x)= \psi(0)$$

ENTONCES Sabes qué debe ser $\psi(x)$ para $x \neq 0$ y qué debe ser $\psi(0)$.