Dominancia Poisson/Binomial en orden convexo

Question

Dadas dos v.a. $X,Y$ (con esperanzas bien definidas) tales que $\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y]$, decimos que $X$ está dominado por $Y$ en el orden convexo, denotado $X \leq_{\rm cx} Y$, si $$ \mathbb{E}[f(X)] \leq \mathbb{E}[f(Y)] $$ para cada función convexa $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, siempre que las esperanzas existan.

Dado $n\geq 1$, $p\in[0,1]$, sea $\lambda := np$, y $X,Y$ distribuidos como $\textrm{Binomial}(n,p)$ y $\textrm{Poisson}(\lambda)$, respectivamente.

¿Es cierto que $X \leq_{\rm cx} Y$? En caso afirmativo, ¿cuál sería una buena referencia o prueba para este hecho?

Esto parece seguir del Teorema 2.2 de [1], pero podría estar leyendo mal -- y, de todas formas, este resultado es mucho más general, sería como usar un martillo para matar una mosca.

[1] Negative dependence and stochastic orderings, Fraser Daly (2015). https://arxiv.org/abs/1504.06493

Answer 1

Esto se deduce del hecho de que ${\rm Poi}(p)$ domina ${\rm Bin}(1,p)$, y agregando $n$ copias independientes de estos.

Para ver que $Y\sim{\rm Poi}(p)$ domina $X\sim{\rm Bin}(1,p)$, observe que $$ \mathbb P(X=0)=1-p\le e^{-p}=\mathbb P(Y=0). $$ Por lo tanto, podemos acoplar estos de manera que $\{X=0\}\subseteq\{Y=0\}$ es un evento de probabilidad $1-p$. Entonces, $Y=0$ siempre que $X=0$ por lo que obtenemos, $$ \mathbb E[Y\vert X]=X. $$ Esto se cumple cuando $X=0$ ya que ambos lados son iguales a $0$, y por lo tanto también se cumple para $X=1$ ya que ambos lados tienen expectativa $p$. Esto muestra que $Y$ domina a $X$ ya que $f(X)\le\mathbb E[f(Y)\vert X]$ para $f$ convexa por la desigualdad de Jensen.

Answer 2

Sí.

Esa es exactamente la afirmación del Lema 2.3 en [1].

Para cualquier función convexa $f$, cualquier número entero $N \geqslant 1$ y parámetro $p\in [0,1]$, tenemos $$ E\left[f\left( Bin(N, p)\right) \right] \leqslant E\left[f\left( Poi(Np)\right) \right]. $$

También hay un libro [2] con un millón de teoremas de esta naturaleza.

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[1] Barman, Fawzi, Ghoshal, Gürpinar. Límites de Aproximación Estrecha para la Máxima Multi-Cobertura, IPCO 2020 (https://arxiv.org/abs/1905.00640)

[2] M. Shaked y J.G. Shanthikumar. Órdenes Estocásticos. (10.1007/978-0-387-34675-5)