Pruebe que $\limsup a_n = \sup P$ y $\liminf a_n = \inf P$, donde $P$ es el conjunto de puntos límite.

Question

Sea $\{a_n\}$ una sucesión acotada de números reales y sea $P$ el conjunto de puntos límite de $\{a_n\}$. Demuestra que $\limsup a_n = \sup P$ y $\liminf a_n = \inf P$

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Mi trabajo:

Dado que ${a_n}$ está acotada, entonces existe un $M$ tal que ${a_n} \leq M$ para todo $n$. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, ${a_n}$ debe tener una subsucesión que converge (en este caso a $P$).
Entonces, $P \leq M$.
$\liminf {a_n} \leq \limsup {a_n} \leq M$.
Dado que $P \leq M$, entonces $\liminf {a_n} \leq \inf P \leq \sup P \leq \limsup {a_n} \leq M$.

No estoy seguro de cómo terminar, o si lo que he puesto es correcto

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¡Se agradece mucho la ayuda!

Answer 1

Esta pregunta puede ser respondida mostrando que las siguientes dos cosas son verdaderas:

1. Si $a_{n_k}\to a \in P$, entonces $\liminf a_n \leq a \leq \limsup a_n$.
2. Existe una subsucesión que converge a $\liminf a_n$, y una que converge a $\limsup a_n$.

A partir de ahí, podemos concluir que dado que el liminf y el limsup son límites inferiores y superiores de $P$ que son elementos de $P$, también deben ser el límite inferior máximo y el límite superior mínimo.