Producto Directo vs. Producto Cartesiano

Question

Actualmente estoy leyendo un libro de introducción a la topología en el que el primer capítulo es una visión general de la teoría de conjuntos. En este capítulo, se discute el Producto Cartesiano de dos conjuntos:

$$A \times B $$

lo cual parece bastante sencillo. Luego, el autor continúa diciendo que se puede generalizar el Producto Cartesiano a cualquier cantidad de conjuntos con el Producto Directo: $$\prod_{i=1}^n A_i = A_1 \times A_2 \hspace{1mm} \times \hspace{1mm} ... \hspace{1mm} \times \hspace{1mm} A_n $$

Lo cual, de nuevo, a primera vista parece bastante sencillo. Sin embargo, siento que hay mucho más en el producto directo que solo ser una extensión del Producto Cartesiano. Dicho esto, ¿cuál es la diferencia entre los dos? ¿Es cierto que el Producto Cartesiano es realmente el caso especial del Producto Directo cuando $n=2$? ¡Realmente apreciaría si alguien puede ayudarme! ¡Gracias!

Answer 1

El uso del término "producto directo" por parte de tu autor aquí es inusual. La mayoría de las personas también llamarían a su producto de $n$ elementos el "Producto Cartesiano". No hay diferencia entre el producto Cartesiano binario y este "producto directo" general de $n$ elementos en el caso de $n=2$.

La distinción entre "producto directo" y "producto Cartesiano" normalmente se refiere al tipo de estructuras de las que estás hablando. "Producto Cartesiano" generalmente significa que estás hablando simplemente de conjuntos sin ninguna estructura adicional. "Producto directo" generalmente significa que tienes algún tipo de estructura algebraica en cada conjunto y estás considerando que el producto Cartesiano tenga la misma estructura algebraica definida coordenada por coordenada. Por ejemplo, si $(A,\cdot_A)$ y $(B,\cdot_B)$ son grupos, su producto directo es el grupo cuyo conjunto subyacente es el producto Cartesiano $A\times B$ con la operación de grupo definida por $(a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot_A c,b\cdot_B d)$.