Mostrar que $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin{nx}}{n^{5/2}}$ es $C^1$

Question

La tarea es mostrar $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin{nx}}{n^{5/2}}$$ es una función continua en $\mathbb{R}$ con una derivada continua.

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Mostrar que la serie converge en cada punto es fácil, asumiendo que se ha demostrado. Luego supongo que necesito demostrar que $f(x)$ es continua. Mi pensamiento era definir $$f_N(x) = \sum_{n=1}^N \frac{\sin{nx}}{n^{5/2}},$$ y mostrar que $f_N \to f(x)$ uniformemente (entonces $f$ siendo continua sigue).

Pienso que lo siguiente es una prueba válida de que $f_N \to f$ uniformemente. Basta con mostrar $|f_N(x) - f_M(x)| < \epsilon$ para todo $x$ cuando $N,M > $ algún $Z \in \mathbb{Z},$ y suponga que $N > M.$ $$|f_N(x) - f_M(x)| = \sum_{n=M+1}^N \frac{\sin{nx}}{n^{5/2}} < \sum_{n=M+1}^N n^{-2} < \epsilon$$ para $M,N$ suficientemente grandes.

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La parte en la que estoy atascado es mostrar que $f'(x)$ existe para todo $x \in \mathbb{R.$ El libro de Rudin dice que si

$f_n$ son diferenciables
$f'_n$ convergen uniformemente
$f_n(x_0)$ converge para algún punto $x_0$
Entonces $f_n \to f$ uniformemente y $f' = \lim f'_n(x)$

Me pregunto si hay una manera más fácil de mostrar que $f(x)$ es continuamente diferenciable. Y si no, ¿sería mostrar que $f'_n$ converge uniformemente lo mismo que arriba - usando una sucesión de Cauchy para los $f'_n$?

Answer 1

De hecho, podrías usar el criterio de Weierstrass-M para mostrar que la secuencia anterior está convergiendo uniformemente, solo observa que $$ \bigg|\frac{\sin{(nx)}}{n^{5/2}}\bigg|\leq\frac{1}{n^{5/2}} $$ y además $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5/2}}=\xi(\frac 5 2)<\infty $$ por lo tanto, al usar el criterio anterior puedes inferir que la secuencia $$ f_N(x) = \sum_{n=1}^N \frac{\sin{nx}}{n^{5/2}} $$ converge absoluta y uniformemente a algún $f$.

Para la parte de la diferenciabilidad, sugeriría lo mismo que ya mencionaste (una vez más, usa el criterio de Weierstrass, también funcionará).