Subconjunto y veces opcionales

Question

Lo siguiente es un hecho bien conocido, pero ¿alguien puede ayudarme a demostrarlo?

Si tengo una filtración de tiempo derecho continuo y $\eta$ es un tiempo opcional, ¿cómo puedo demostrar que si $\eta\leq t$ entonces $\mathcal{F}_\eta \subset \mathcal{F}_t$?

Answer 1

Recuerdo la definición de tiempos opcionales para evitar cualquier posible confusión, ya que a veces diferentes autores utilizan algunas variaciones en torno a esas nociones.

Entonces, un tiempo opcional (Karatzas y Shreve) $\eta$ es una variable aleatoria positiva sobre $(\Omega, \mathcal{F}=\vee_{t>0}\mathcal{F}_t)$ tal que $\forall t>0$, $\{\eta

La $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}_\eta$ consiste en eventos $A \in \mathcal{F}$ tales que $\forall t>0, A\cap\{\eta

Ahora, nuestro problema, sabemos que la filtración es continuamente a la derecha y exigir que $\eta\leq t$ para un $t>0$ fijo.

Vamos a tomar un evento $A$ en $\mathcal{F}_\eta$ y vamos a verlo.

Sabemos por la propiedad de $\eta$ que $\{\eta\leq t $} $=\Omega$, de modo que $A\cap\{\eta\leq t $}$=A$.

Ahora, utilizando la continuidad a la derecha de la filtración, tenemos:

$A=A\cap\{\eta\leq t $} $=A\cap\cap_{u>t}\{\eta< u $} $=\cap_{u>t}A\cap\{\eta< u $} y esto implica que $A=A\cap\{\eta\leq t $} $\in \cap_{u>t}\mathcal{F}_{u}=\mathcal{F}_{t+}=\mathcal{F}_t$ (por hipótesis), así que hemos terminado.

Atentamente