Negatividad de un polinomio cuadrático

Question

Supongamos que se nos da

$P(x)=ax^2+bx+c$

y queremos asegurarnos de que, para todos los reales positivos $x>0$, tenemos $$ P(x)<0. $$

¿Es suficiente asegurarse de que el discriminante $b^2-4ac<0$?

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Un discriminante negativo significa que no existe un real $x$ tal que $P(x)=0$.

Pero ¿cómo asegurar $P(x)<0$?

Answer 1

Consideremos el caso en que tenemos un cuadrático, entonces $a \neq 0$

Claramente tenemos las condiciones necesarias de

• $P(\infty) < 0 \Rightarrow a < 0 $
• $P(0) \leq 0 \Rightarrow c \leq 0$

Para la suficiencia, consideramos casos dependiendo de dónde se encuentre el vértice

1. Si la coordenada x del vértice es negativa o 0 ($b \leq 0$), entonces esas condiciones son suficientes.
2. Si la coordenada x del vértice es positiva ($b > 0$), entonces requerimos que el discriminante sea negativo ($b^2 < 4ac$).

Te dejo el caso lineal $a = 0$, y puedes utilizar ideas similares a las de arriba.

Answer 2

Como OP quiere las condiciones tanto para el número real positivo $\mathbb{R}^{+}$ como para todos los números reales $\mathbb{R}$, creo que es útil proporcionar más detalles y discutir ambos casos para $\mathbb{R}^{+}$ y $\mathbb{R}$. Lo siguiente es principalmente para la parte de todos los números reales. Además, se agregan algunos detalles para $\mathbb{R}^{+}$.

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Dado $P(x)=ax^2+bx+c$. Supongamos $a\neq 0$ para mantener $P(x)$ como una ecuación cuadrática. Encuentra las condiciones necesarias y suficientes para $P(x)<0$, donde el dominio es $\mathbb{R}$

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$$P(x)=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{b^2-4ac}{4a}=a(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{D}{4a}$$, donde $D=b^2-4ac$.

A partir de esta expresión, podemos ver que:

• $P(0) =c$
• $\lim\limits_{x\to +\infty} P(x)= \left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si $a >0$};\\ -\infty & \mbox{si $a < 0$}.\end{array} \right.$
• El vértice está en $x=-\frac{b}{2a}$, con valor $P(-\frac{b}{2a})=- \frac{D}{4a}$. Es un punto máximo si $a<0$ y un punto mínimo si $a>0$.

$D\geq 0$ si y solo si existe al menos una raíz real para $P(x)=0$ en $\mathbb{R}$.

El dominio $\mathbb{R}$ aquí es importante para que $D<0$ sea una condición necesaria para esta cuestión en el dominio $\mathbb{R}$. Dado que podemos tener raíces reales en $\mathbb{R}^{\geq 0}$ y $P(x)<0$ para todos los $x\in\mathbb{R}^{+}$, $D<0$ no es una condición necesaria para esta cuestión en el dominio $\mathbb{R}^{+}$.

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Para las condiciones necesarias,

si $P(x)<0$ para todos los $x\in\mathbb{R}$, entonces

• $P(0)<0 \Rightarrow c < 0$
• $\lim\limits_{x\to +\infty} P(x)<0 \Rightarrow a < 0$
• $P(-\frac{b}{2a})=- \frac{D}{4a} < 0 \Rightarrow D<0 $ (como a < 0)

Para la parte de suficiencia, si $a<0$ y $D<0$, entonces tenemos $$P(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{D}{4a}<0$$

Tenga en cuenta que si $D=b^2-4ac<0$, entonces tenemos $$a<0 \text{ si y solo si } c<0 .$$

Por lo tanto, las condiciones necesarias y suficientes para $P(x)<0$ en $\mathbb{R}$ son $$a<0 \text{ y } b^2-4ac<0$$ o $$c<0 \text{ y } b^2-4ac<0$$

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Ahora discutamos la parte de $\mathbb{R}^+$:

Dado $P(x)=ax^2+bx+c$. Supongamos $a\neq 0$ para mantener $P(x)$ como una ecuación cuadrática. Encuentra las condiciones necesarias y suficientes para $P(x)<0$, donde el dominio es $\mathbb{R}^+$

si $P(x)<0$ para todos los $x\in\mathbb{R}^+$, entonces solo esta condición se cumple de inmediato,

• $\lim\limits_{x\to +\infty} P(x)=-\infty \Rightarrow a < 0$

Como $c=P(0)$, ahora no es necesario que $c<0$. De hecho, es necesario que $c\leq 0$.

• Reclamación $P(0)\leq 0$. Supongamos $P(0)> 0$, por continuidad de $P(x)$, existe un $x_0>0$ tal que $P(x_0)>0$, contradice con $P(x)<0$ para todos los $x\in\mathbb{R}^+$.

Tampoco es necesario que $P(-\frac{b}{2a})< 0$ a menos que $b>0$ (el vértice está en $x=-\frac{b}{2a}\in \mathbb{R}^+$).

Entonces, si $b>0$, entonces $P(-\frac{b}{2a})=- \frac{D}{4a} < 0 \Rightarrow D<0 $ (como a < 0)

Para la parte de suficiencia, dividimos en dos casos:

1. $a<0, b>0, D<0$
2. $a<0, b<=0, c<=0$

Caso 1: $a<0, b>0, D<0$ (es similar al caso para dominio=$\mathbb{R}$) $$P(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{D}{4a}<0$$ para todos los $x\in\mathbb{R}^+$

Nota: c no puede ser 0, es decir, $c<0$.

Caso 2: $a<0, b<=0, c<=0$ $$P(x)=ax^2+bx+c<0$$ para todos los $x\in\mathbb{R}^+$

Por lo tanto, las condiciones necesarias y suficientes para $P(x)<0$ en $\mathbb{R}^+$ son $$a<0, b>0, D=b^2-4ac<0$$ o $$a<0, b<=0, c<=0$$

Answer 3

Porque los polinomios son continuos, por el teorema del valor intermedio tenemos que $P(x)$ toma tanto valores positivos como negativos si para algún $x_0\in\mathbb{R}$ tenemos que $P(x_0)=0$. En cambio, si no existe tal $x_0$, entonces $P(x)$ es estrictamente positivo no nulo o estrictamente negativo no nulo. Para determinar cuál es, podemos mirar tanto $a$ como $c$. Si alguno de estos es menor que $0$, entonces $P(x)<0$ para todo $\mathbb{R}$.

Entonces, $P(x)<0$ para todo $\mathbb{R}$ si cualquiera de lo siguiente se cumple:

$b^2-4ac<0$ y $c<0$

$b^2-4ac<0$ y $a<0$

Si restringimos el dominio a números reales positivos, entonces necesitamos que $a,b,c<0$.