No entiendo el Chi cuadrado

Question

Pienso en la prueba de la tabla de contingencia. En todos los libros que he visto, la estadística de la prueba se calcula como la suma de $(O-E)^2/E$ sobre todas las celdas. Pero el grado de libertad no es el número de todas las celdas. Por ejemplo, en una tabla $n \times m$, es $(n-1)(m-1).

Hasta aquí todo bien. ¿Pero cuál es la lógica detrás de este enfoque? Creo que la definición de la distribución $\chi^2$ es la suma de $M$ variables, cada una siendo el cuadrado de una variable normal estándar. Creo que cada $(O-E)^2/E$ es aproximadamente una variable normal estándar, y por eso usamos la distribución $\chi^2$. ¡Pero el grado de libertad no es el número de sumandos!

Answer 1

El grado de libertad no es el número de celdas porque existen relaciones entre las celdas.

Creo que cada $(O−E)^2/E$ es aproximadamente una normal estándar,

No, por dos razones. Primero, es el cuadrado de algo que es normal, y segundo, aquello de lo que es el cuadrado no es realmente una normal estándar*. El caso más sencillo de considerar es el multinomial (prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado). Para calcular las expectativas, condicionamos en el total observado ($\sum_i O_i=\sum_i E_i$). Dado el número total de observaciones la varianza de $(O_i-E_i)$ no es $\sqrt{E_i}$ sino $\sqrt{E_i(1-p_i)}.

* ya sea que estemos tratando con una prueba de bondad de ajuste multinomial o una prueba de independencia en una tabla de contingencia.

Sin embargo, las cuentas están negativamente dependientes de tal manera que $\sum_{i=1}^k (O_i−E_i)^2/E_i$ es equivalente a una suma de $k-1$ normales estándar independientes.

En la tabla de $n\times m$, las relaciones implica una restricción lineal en cada fila y columna, pero una de esas restricciones está implícita en las otras, por lo que son $nm-n-m+1$ grados de libertad.