Estaba resolviendo este límite: $$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\left(2x+3\right)!-\left(2x\right)!\right)}{\left(x^2\left(\left(2x+1\right)!-\left(2x\right)!\right)\right)}$$ Después de algunas simplificaciones me quedó: $$\lim_{x\to\infty}\frac{(2x+3)(2x+2)(2x+1)-1}{2x^3}$$ Me di cuenta de que tenía que simplificar por $x^3$ así que lo hice distraídamente:$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3((\frac2{x^2}+\frac3{x^3})(\frac2{x^2}+\frac2{x^3})(\frac2{x^2}+\frac1{x^3})-\frac1{x^3})}{2x^3}=\frac02=0$$ Después de razonar un poco, resolví el producto llegando a: $$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(8x^3+24x^2+22x+5\right)}{2x^3}=\frac{x^3\left(8+\frac{24}{x}+\frac{22}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)}{2x^3}=\frac82=4$$ Que es la solución correcta después de revisar. ¿Qué está mal con la simplificación antes de resolver el producto? Sé que puede ser un error horrible, pero no puedo entenderlo por mí mismo.
Respuesta
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Nota que factorizaste $x^3$ de cada factor. $$\begin{align*} (2x+3)(2x+2)(2x+1)-1 \ne x^3\left( \left( \frac2{x^2}+\frac3{x^3}\right) \left( \frac2{x^2}+\frac2{x^3}\right) \left( \frac2{x^2}+\frac1{x^3}\right) -\frac1{x^3}\right) \end{align*}$$ como $$\begin{align*} \frac2{x^2}+\frac3{x^3} &= x^3 (2x+3) \\ \frac2{x^2}+\frac2{x^3} &= x^3 (2x+2)\\ \frac2{x^2}+\frac1{x^3} &= x^3 (2x+1) \end{align*}$$ así que en realidad tendrías $x^9$ en frente, ignorando que esto sería inconsistente con $1/x^3$ en lugar de $1/x^9$.
En lugar de eso deberías factorizar solo un factor de $x$ de cada factor de $(2x+3)(2x+2)(2x+1)$, y un factor de $x^3$ de $-1$. Esto salvará tu enfoque.
