¿Por qué hay $2^{\aleph_0}$ inyecciones de $\omega$ a $\omega_1?

Question

Tengo que demostrar que existen $2^{\aleph_0}$ inyecciones de $\omega$ a $\omega_1.$ Puedo ver que hay una biyección entre este conjunto y el conjunto de pares: (permutación de $\omega$, subconjunto infinitamente numerable de $\omega_1$), lo que significa que la fórmula "finita" estándar funciona, y hay $$\aleph_0!\cdot{\aleph_1 \choose\aleph_0}$$

de esas inyecciones. Sé que $\aleph_0!=2^{\aleph_0},$ pero no puedo ver cómo el otro factor también es $2^{\aleph_0}$.

Answer 1

Dado que cada subconjunto numerable de $\aleph_1$ está acotado, puedes abordarlo de la siguiente manera:

$${\aleph_1 \choose\aleph_0} = \bigcup_{\alpha < \omega_1}{\alpha \choose\aleph_0}$$