Dadas las ecuaciones para las líneas laterales de un paralelogramo, ¿por qué son estas las ecuaciones para las líneas diagonales?

Question

Mi libro, para un paralelogramo $ABCD$ con lados como $$\begin{align} AB&\;\equiv\; a\phantom{^\prime}x+b\phantom{^\prime}y +c\phantom{^\prime}=0 \\ BC&\;\equiv\; a^\prime x +b^\prime y +c^\prime=0 \\ CD&\;\equiv\; a\phantom{^\prime}x+b\phantom{^\prime} y +c^\prime=0 \\ DA&\;\equiv\; a^\prime x +b^\prime y +c\phantom{^\prime}=0 \end{align}$$ escribió la ecuación de las diagonales: $$AC\;\equiv\; (ax+by+c)(a'x+b'y+c)-(a'x+b'y+c')(ax+by+c')=0$$ $$BD\;\equiv\; (ax+by+c)(a'x+b'y+c')-(a'x+b'y+c)(ax+by+c')=0$$

No entiendo por qué. Por favor ayuda.

Answer 1

Debería ser: $$BD\equiv (ax+by+c)(a'x+b'y+c)-(a'x+b'y+c')(ax+by+c')=0$$$$AC\equiv (ax+by+c)(a'x+b'y+c')-(a'x+b'y+c)(ax+by+c')=0$$

Porque

1. son ecuaciones de rectas,

2. $(x_1,y_1)$ está ubicado en la recta $ax+by+c=0$ si y solo si $ax_1+by_1+c=0$ y

3. hay una única recta que pasa por dos puntos distintos.

¡Hecho!

Answer 2

Estas ecuaciones son incorrectas. Por ejemplo, en el punto $A$, los dos factores del primer término en la expresión para $AC$ son cero, mientras que el término restante, y por lo tanto toda la expresión, se evalúa en $-(c'-c)^2$, lo cual generalmente no es cero—y de manera similar para $B$ en $BD.

Answer 3

Como ha escrito Michael Rozenberg, deberían ser $$\small BD\equiv (ax+by+c)(a'x+b'y+c)-(a'x+b'y+c')(ax+by+c')=0\tag1$$$$\small AC\equiv (ax+by+c)(a'x+b'y+c')-(a'x+b'y+c)(ax+by+c')=0\tag2$$

¿Por qué las ecuaciones de las diagonales (tomando AC por ejemplo) son para toda la línea AC y no solo para los puntos A y C?

$(1)$ se puede escribir como $$aa'x^2+ab'xy+acx+a'bxy+bb'y^2+bcy+ca'x+cb'y+c^2-aa'x^2-a'bxy-a'c'x-ab'xy-bb'y^2-b'c'y-ac'x-bc'y-c'^2=0,$$ es decir, $$(a+a')(c-c')x+(b+b')(c-c')y+(c-c')(c+c')=0\tag3$$

Supongamos que $c=c'$. Entonces, las ecuaciones de $AB$ y $CD$ son iguales, lo cual es imposible. Por lo tanto, tenemos $c\not=c'$.

Entonces, dividiendo ambos lados de la $(3)$ por $c-c'$ obtenemos $$(a+a')x+(b+b')y+c+c'=0\tag4$$

Supongamos que $a+a'=0$ y $b+b'=0$. Luego, la ecuación de $DA$ es $ax+by-c=0$. Por lo tanto, la línea $DA$ es paralela a la línea $AB$, lo cual es imposible. Por lo tanto, debemos tener $a+a'\not=0$ o $b+b'\not=0$.

Se sigue que la $(4)$, es decir, la $(1)$ es la ecuación de la línea $BD$ (asumiendo que ya sabes que $B,D$ satisfacen la ecuación).

Además, la $(2)$ se puede escribir como$$(a-a')x+(b-b')y=0\tag5$$

Supongamos que $a-a'=0$ y $b-b'=0$. Entonces, las ecuaciones de $AB$ y $DA$ son iguales, lo cual es imposible. Por lo tanto, debemos tener $a-a'\not=0$ o $b-b'\not=0$.

Se sigue que la $(5)$, es decir, la $(2)$ es la ecuación de la línea $AC$.