Independencia entre la secuencia de variables aleatorias y la variable aleatoria

Question

¿Qué significa si una secuencia de variables aleatorias $(X_i)_{i\in\mathbb N}$ es independiente de una variable aleatoria $N$?

¿Significa que para todo $n\in\mathbb N$: $$P(X_1\le x_1,\dots,X_n\le x_n, N\le n)=P(X_1\le x_1,\dots,X_n\le x_n)\cdot P(N\le n)?$$

Answer 1

En general, es más fácil definir lo siguiente: Dos $\sigma$-álgebras $\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$ se dicen ser independientes bajo una medida de probabilidad $\mathbb{P}$ si $\mathbb{P}(F\cap G)=\mathbb{P}(F)\mathbb{P}(G)$ para todo $F\in \mathcal{F}$ y $G\in \mathcal{G}$.

Luego definimos dos aplicaciones medibles $Y$ y $Z$ como independientes si $\sigma(Y)$ es independiente de $\sigma(Z)$. Esto, en particular, implica en el caso $Y=(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ y $Z=N$ que $\mathbb{P}((X_{n_1}\in B_1,...,X_{n_k}\in B_k)\cap (N\in B_{k+1}))=\mathbb{P}((X_{n_1}\in B_1,...,X_{n_k}\in B_k))\mathbb{P}(N\in B_{k+1})$ para todas las colecciones finitas de conjuntos de Borel $(B_j)_{1\leq j\leq k+1}$ y $n_1.