La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica es 21, y la suma de sus cuadrados es 1281. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener la suma de los cubos?
Respuestas
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Farkhod Gaziev
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6
Sea $a, ar, ar^2$ los tres términos
Entonces, $a+ar+ar^2=21$
Entonces, $(a)^2+(ar)^2+(ar^2)^2=1281\implies a(r^2+r+1)a(r^2-r+1)=1281$
En la división, $a-ar+ar^2=\frac{1281}{21}=61$
Entonces, $ar=-20, a+ar^2=41$
$a^3+(ar)^3+(ar^2)^3=a^3+(ar^2)^3+(-20)^3$ $=(a+ar^2)^3-3a\cdot ar^2(a+ar^2)+(-20)^3$ $=(41)^3-3(-20)^2(41)+(-20)^3$
Nikolai Prokoschenko
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2507
Pistas:
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Tienes dos igualdades distintas y dos incógnitas, por lo que hay un número finito de soluciones que satisfacen las igualdades. Por lo tanto, empieza por resolver las igualdades
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Si $S_1$ es la suma de los tres términos y $S_2$ es la suma de sus cuadrados, podrías empezar por mirar $\dfrac{S_1^2-S_2}{2S_1}$ para ver si te da algo útil
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$21^2 = 441 \lt 1281$, por lo que no todos los términos en la progresión geométrica pueden ser positivos
Oli
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89
Llamemos a los términos $\dfrac{b}{r}$, $b$ y $br$. Elevamos al cuadrado la suma. Obtenemos $$\frac{b^2}{r^2}+b^2+b^2r^2 +2b\left(\frac{b}{r}+b+br\right).$$ Así que $441= 1281+2b(21)$. Se sigue que $b=-20$. El resto es rutina.
Si queremos hacer el resto de manera bonita, use $$\frac{1}{r^3}+r^3=\left(\frac{1}{r}+r\right)^3-3\left(\frac{1}{r^2}+r^2\right).$$
