¿Es un inverso correcto de un elemento en un álgebra de Banach unitaria también un inverso izquierdo?

Question

Estoy leyendo la prueba del siguiente teorema de un conjunto de apuntes:

Estoy tratando de entender por qué la expresión resaltada no puede tener un inverso. ¿Es porque si tiene un inverso, eso implicaría que $\lambda -x$ tiene un inverso por la derecha que también es su inverso por la izquierda, por lo que sería invertible, lo cual es imposible ya que $\lambda$ está en el espectro de $x$. ¿Es eso correcto?

Answer 1

Tenga en cuenta que los dos elementos en su producto conmutan. ($\lambda$ es un escalar, por lo que pertenece al centro del álgebra) Así que si el producto es invertible, entonces $\lambda-x$ tiene tanto un inverso por la derecha como por la izquierda. Y es un resultado fundamental que si un elemento en cualquier anillo unitario tiene tanto un inverso por la izquierda como por la derecha, entonces el elemento es invertible.