Dados números racionales $x$, $y$ tales que $x^3+y^2$ y $x^2+y^3$ son enteros, demuestra que $x$, $y$ son enteros.
Para este problema ni siquiera sé por dónde empezar a abordarlo. He intentado varias formas:
- Tomando $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{c}{d}$, lo cual solo complica más las cosas
- Haciendo operaciones con ellos: $x^3+y^2+x^2+y^3=x^2(x+1)+y^2(y+1)$, y no tengo idea de cómo continuar;
$(x^3+y^2)(x^2+y^3)=x^5+y^5+x^3y^3+x^2y^2$, y también es probablemente demasiado complejo para desglosar
$x^3+y^2-x^2-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)+(y-x)(x+y)$ parece más viable, pero tampoco puedo hacer nada con esto.
Apreciaría mucho cualquier forma de abordar este problema, ya que he pasado un tiempo pensando en él.
EDITAR: He encontrado una solución a este problema (esto se editó 2 días después de que se publicara, así que también hubo respuestas antes de esto):
Supongamos que $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{c}{d}$ en donde $a$, $b$, $c$, $d$ son enteros y $\gcd(a,b) = \gcd(c,d) = 1$. Entonces tenemos $x^2+y^3=\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^2d^3+b^2c^3}{b^2d^3}$, entonces:
$b^2|a^2d^3+b^2c^3$, lo que significa que $b^2|a^2d^3$, y $\gcd(a,b)=1$ así que $b^2|d^3$, y
$d^3|a^2d^3+b^2c^3$, lo que significa que $d^3|b^2$, entonces $b^2=d^3$.
Haciendo lo mismo con $x^3+y^2$, obtenemos $b^3=d^2$. De ahí obtenemos $b^5=d^5$, entonces $b=d$. Sustituyendo en $b^2=d^3$, obtenemos $b^2=b^3$, por lo tanto $b=d=1$, lo cual implica que $x$ y $y$ son enteros.
