Prueba de una versión real de una desigualdad discreta

Question

Buenas noches, me preguntaba cómo demostrar fácilmente esta desigualdad: \begin{equation} py^{p-1}(x-y)\leq x^p-y^p\leq px^{p-1}(x-y) \end{equation} para todos los $x,y\geq0$ y $p\in[1,+\infty)$.

Intenté estudiar las funciones $\frac{x^p-y^p}{y^{p-1}(x-y)}$ y $\frac{x^p-y^p}{x^{p-1}(x-y)}$, pero no logro avanzar en nada.

Answer 1

Para $x \geq y$ esto sigue inmediatamente del TVM aplicado a la función $f(x)=x^{p}$ ya que $py^{p-1} \leq pt^{p-1} \leq px^{p-1}$ cuando $t \in [x,y]$. Para $x < y$ simplemente intercambia $x$ y $y$ y multiplica las desigualdades por $-1$.

Answer 2

Una prueba puramente algebraica cuando $p$ es un entero, usando álgebra de escuela secundaria: tenemos la factorización $$x^p-y^p=(x-y)(\underbrace{x^{p-1}+x^{p-2}y+\dots+xy^{p-2}+y^{p-1})}_{p\,\text{ términos}},$$ así que el segundo factor es $\le px^{p-1}\:$ y $\ge py^{p-1}\:$ si $\:0\le y\le x$. Multiplicando por $x-y$ que es $\ge 0$ produce el resultado en este caso.

Si $0\le x\le y$, simplemente permuta los límites para el segundo factor, y ten en cuenta que multiplicar por $x-y\le 0$ produce nuevamente las desigualdades.