Encuentra el supremo y el ínfimo de un conjunto X

Question

Deje el conjunto $X=\{\frac{s}{s^2+2}, s\in\mathbb{Z}\}$ tengo que encontrar el supremo y el ínfimo. Lo he hecho de esta manera:
Puedo observar que $X=\{\frac{s}{s^2+2}, s\in\mathbb{N}\}\cup \{\frac{-t}{t^2+2}, t\in\mathbb{N}\}$ y ahora estudio por separado el ínfimo y el supremo de los dos conjuntos que me dan en la unión el conjunto X.
1) $\{x_s=\frac{s}{s^2+2}, s\in\mathbb{N}\}$: como $\frac{s}{s^2+2}>\frac{s+1}{(s+1)^2+2}$ $\forall s\geq 1$ entonces mi secuencia es eventualmente decreciente y así $\exists \lim_{s\to\infty} x_s=0=inf$. El sup en cambio está dado por $\frac{s}{s^2+2}$ evaluado en s=1, entonces $sup=\frac{1}{3}$.
2) $\{x_t=\frac{-t}{t^2+2}, s\in\mathbb{N}\}$:
como $\frac{-t}{t^2+2}>-\frac{t+1}{(t+1)^2+2}$ $\forall t\geq 1$ entonces mi secuencia es eventualmente creciente y así $\exists \lim_{t\to\infty} x_t=0=sup$. El ínfimo está dado por $\frac{-t}{t^2+2}$ evaluado en t=1, entonces $inf=\frac{-1}{3}$.
Así que finalmente $supA=max\{\frac{1}{3},0\}=\frac{1}{3}$ y luego $infA=max\{\frac{-1}{3},0\}=\frac{-1}{3}$.
POR HACER: revisar mi resolución.

Answer 1

Sea $f(s) = s/(s^2 + 2)$. Entonces claramente para todo $s \in \mathbb Z$, $$f(-s) = -s/((-s)^2 + 2) = -s/(s^2 + 2) = -f(s).$$ Por lo tanto, si $f(n) = \sup X$, entonces debemos tener que $f(-n) = \inf X$.

Luego, observemos que $f(s) > 0$ si $s > 0$, entonces $f(s) < 0$ si $s < 0$, y $f(s) = 0$ si $s = 0$. Así que basta con considerar $s \in \mathbb Z^+$ y $\sup X$ solamente.

Finalmente, consideremos el cociente $$\frac{f(s+1)}{f(s)} = \frac{(s+1)(s^2 + 2)}{s(s^2 + 2s + 3)} = \frac{s^3 + s^2 + 2s + 2}{s^3 + 2s^2 + 3s} = 1 - \frac{(s-1)(s+2)}{s(s^2 + 2s + 3)}.$$ Cuando $s > 0$, el denominador del segundo término siempre es positivo. Dado que el numerador del segundo término es cero si $s = 1$ (ignoramos la raíz negativa ya que $s > 0$), y es positivo para $s > 1$, se sigue que esta razón es igual a $1$ solo cuando $s = 1$, y es estrictamente menor que $1$ si $s > 1$. Por lo tanto, para $s \in \mathbb Z^+$, vemos que $f(s)$ es mayor cuando $s = 1$, y $\sup X = f(1) = \frac{1}{3}$, de lo cual se sigue que $\inf X = -\frac{1}{3}$.

Answer 2

pista

Sea $$f(x)=\frac{x}{x^2+2}$$

$ f $ es una función impar.

$$(\forall x\ge 0)\; \;\; f'(x)(x^2+2)^2=2-x^2$$

A partir de aquí, el máximo de $ X $ será $ \max X =f(1) = f(2) =\frac 13$ .

Por simetría, $\min X =-\max X $.