¿Existe un espacio $T_2$-conectado $(X,\tau)$ con $|X|>1$ y la siguiente propiedad?
Siempre que $A$ sea un subconjunto de $X$ con $|A|<|X|$ y $f:A\to A$ sea una biyección, existe un homeomorfismo $\varphi:X\to X$ tal que $\varphi\restriction_A = f$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El espacio conectado contable de Bing $\mathbb{B}$ (ver [2]) es un ejemplo de ello. El trabajo de Banakh, Banakh, Hryniv y Stelmakh [1] (motivado por una pregunta de MathOverflow) te da lo que quieres.
Observa que demuestran que cualquier biyección entre dos subconjuntos $\theta$-discretos de $\mathbb{B}$ se extiende a un homeomorfismo de $\mathbb{B}$, y es inmediato que todo subconjunto finito de $\mathbb{B}$ es $\theta$-discreto.
[1] Banakh, Iryna; Banakh, Taras; Hryniv, Olena; Stelmakh, Yaryna, Los espacios conectados contables de Bing y Ritter son topológicamente homogéneos, ZBL07224267. Versión ArXiv
[2] Bing, R. H., Un espacio de Hausdorff conectado contable, Proc. Am. Math. Soc. 4, 474 (1953). ZBL0051.13902.
