¿Cuántas imágenes veré si estoy rodeado por 4 espejos?

Question

Una pregunta sobre imágenes me confundió hoy cuando estaba revisando la teoría de las imágenes.

Con 1 espejo -- veo 1 imagen fuera de fase de mí mismo.

Con 2 espejos paralelos, estando yo entre ellos -- veo infinitas imágenes de mí mismo.

Con 2 espejos en ángulo (digamos ángulo recto) -- veo 2 imágenes fuera de fase y 1 imagen en fase en la esquina.

Pero ¿cómo se verá la distribución de imágenes cuando estoy rodeado por 4 espejos formando ángulos rectos? Sé que el número de imágenes será infinito, pero ¿habrá imágenes en la esquina o en algún lugar?

Dado que Bruce Lee murió hace años, y estoy bastante lejos de Walmart, ¿alguien sabe cómo se distribuyen las imágenes si estoy rodeado por 4 espejos? (Esos 4 forman ángulos rectos entre sí, como una forma rectangular simple si se mira desde arriba.)

Answer 1

Si los ángulos entre los cuatro espejos son ángulos rectos exactos, entonces en teoría verás un array bidimensional infinito de imágenes. En la práctica, al igual que con dos espejos paralelos, las imágenes que están más lejos se vuelven más oscuras porque se pierde una pequeña cantidad de intensidad de luz en cada reflexión. Por lo tanto, hay un límite en cuántas imágenes puedes ver en realidad en la práctica.

En el array bidimensional hay cuatro tipos de imágenes. Hay dos tipos de imagen reflejada, un tipo de imagen que está girada $180$ grados (porque ha sido reflejada un número impar de veces en ambos planos de espejo) y un cuarto tipo de imagen que ha sido reflejada un número par de veces en ambos planos de espejo y por lo tanto es una imagen no reflejada y no girada. Así que si miras atentamente, encontrarás una imagen donde puedes ver la parte trasera de tu cabeza.

Answer 2

La respuesta de gandalf61 ya está completa, pero como hubo algunas discusiones quería dar otra respuesta con una imagen. También hablaré sobre las pérdidas de intensidad porque realmente nos ayudan a comprender lo que está sucediendo, en mi humilde opinión.

Entonces, ¿sabes cómo obtienes una imagen no reflejada cuando tienes un ángulo recto entre dos espejos (reflejo de esquina)? La siguiente imagen es una generalización de esta idea de una imagen en la esquina.

En el centro, ves el sistema de cuatro espejos (líneas azules gruesas) con el objeto visible (tú mismo o Bruce Lee) en el medio. Los ejes de los espejos se continúan y se reproducen para dar una cuadrícula de líneas azules. Luego, hay una red de imágenes de espejo. Pierden intensidad cuanto más reflejos se requieren para alcanzar su posición (cf. próxima imagen). Puedes ver que las imágenes de espejo con la misma intensidad forman una forma de diamante, $\diamond$, que también quiero explicar con la próxima imagen.

En esta, puedes ver cómo surge la imagen de espejo "dos a la derecha, uno arriba". Si conectas la fuente y esta imagen de espejo en particular (flechas punteadas), la línea pasará por 3 planos de espejo diferentes (líneas azules) en el dominio reflejado. Pero este dominio es solo un auxiliar matemático, el rayo de luz real (flechas sólidas) solo se mueve dentro del cuadrado descrito por los cuatro espejos. Entonces puedes ver que las imágenes de espejo surgen debido a una cierta reflexión repetida en los espejos, dada por la forma algo rómbica de las flechas sólidas.

Esta construcción utilizando planos de espejo infinitamente repetidos se debe en esencia a la ley de reflexión especular, lo que significa que los ángulos incidentes y reflejados son iguales. Con eso, puedes mirar un rayo de luz reflejado en un mundo inalterado o un rayo de luz inalterado en un mundo reflejado. Esto se puede hacer cada vez que tu rayo de luz golpea un espejo, y puedes describir tu rayo de luz como una línea que pasa por diferentes mundos reflejados.

Con esto, también puedes entender por qué las imágenes de espejo con la misma intensidad están en una forma de diamante, $\diamond$. Si las conectas con el origen, pasas exactamente por el mismo número de espejos en el mundo reflejado para cada una de ellas. Ten en cuenta que pasar exactamente por una esquina significa pasar por dos planos de espejo a la vez.

Cada uno de los límites de los diamantes tiene $4n$ puntos, donde $n$ es el número de espejos que debes atravesar para llegar al grupo (simplemente puedes considerarlo la separación en el eje $x$). Esto significa que si los primeros $N$ diamantes son visibles, tienes un total de $$\sum_{n=1}^N 4n = 4 \frac{N(N+1)}{2} = 2 N(N+1)$$ imágenes de espejo. Ese número obviamente tiende a infinito a medida que $N \to \infty$.

Answer 3

Para cuatro espejos colocados en ángulos rectos, hay 2 situaciones a revisar:

1. Los espejos alternos son paralelos. Esto implica que la imagen infinita será imágenes en ambos pares de imágenes paralelas.
2. Los espejos adyacentes están en ángulos rectos, por lo que el número de imágenes formadas será 3 en ambos pares de espejos adyacentes, que a su vez se reflejarán y esto continuará para siempre.

Aunque el número total de imágenes será infinito, los cálculos dicen:

Número de imágenes = infinito+infinito+3(infinito) = infinito.