Normalización de Matriz

Question

De la matriz de autovectores:

Hice la normalización

pero pienso que hay un error que no pude encontrar.

Answer 1

Deje$$ v_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \quad v_2= \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-\rho_2 + \sqrt{((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)}}{2\rho_1} \\ 1 \end{bmatrix} \quad v_3= \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{-\rho_2 - \sqrt{((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)}}{2\rho_1} \\\\ 1 \end{bmatrix} $$ los vectores columna de la matriz $\Phi^\ast$. Tenga en cuenta que $\|v_1\|=\sqrt{2}$ y \begin{align} \|v_2\| =& \sqrt{ 1^2+\left( \frac{-\rho_2 + \sqrt{((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)}}{2\rho_1} \right)^2+1^2} \\ =& \sqrt{ 2+\frac{\rho_2^2-2\cdot \rho_2\cdot \sqrt{((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)} + ((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)}{4\rho_1^2}} \\ =& \sqrt{ \frac{8\rho_1^2+ \rho_2^2-2\cdot \rho_2\cdot \sqrt{((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)} + ((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)}{4\rho_1^2}} \\ =& \sqrt{ \frac{\big(16\rho_1^2+ 2\rho_2^2\big)-2\cdot \rho_2\cdot \sqrt{((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)} + ((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)}{4\rho_1^2}} \\ =& \sqrt{ \frac{\big(16\rho_1^2+ 2\rho_2^2\big)-2\cdot \rho_2\cdot \sqrt{((\rho_2)^{2} + 8(\rho_1)^2)}}{4\rho_1^2}} \\ =& \frac{\sqrt{16\rho_1^2+ 2\rho_2^2-2\cdot \rho_2\cdot S}}{2\rho_1} \end{align} De manera similar, tenemos $$ \|v_3\|= \frac{\sqrt{16\rho_1^2+ 2\rho_2^2+2\cdot \rho_2\cdot S}}{2\rho_1} $$