¿Existe una función real con dominio $\Bbb{R}$ tal que $f'(x)>0$ y $f''(x)+(f'(x))^2<0$ para todo $x$?

Question

¿Existe una función real $f(x)$ que cumpla las siguientes propiedades?

1. su dominio es $\mathbb{R}$

2. $f'(x) > 0$ para todo $x$

3. $f''(x) + (f'(x))^2 < 0$ para todo $x$

La función logaritmo $\ln(x)$ da una idea sobre las condiciones 2 y 3. Pero por ahora, no encontré ningún ejemplo.

Además, quiero encontrar una función diferencial no lineal $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ y que sea:

1. estrictamente creciente

2. (cuasi)-cóncava

Creo que esto es más fácil que el anterior. Al mirar el gráfico, supongo que esta función existe, pero no encontré una explícitamente.

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EDITAR 1

Gracias por todos los comentarios, especialmente por @mihaild. He encontrado un ejemplo para estas preguntas. Un ejemplo para la segunda pregunta es $-e^{-x}$. Y un ejemplo para la primera pregunta es tomando la idea de la segunda, que es la siguiente.

Si $f(x)=-e^{g(x)}$, entonces $f'(x)=-g'(x)e^{g(x)}$, $f''(x)=-g''(x)e^{g(x)}-(g'(x))^2e^{g(x)}$, y $f''(x)+(f'(x))^2=-g''(x)e^{g(x)}$. Así que simplemente necesitamos que $g(x)$ esté definida en $\mathbb{R}$ y cumpla con:

1. $g'(x) <0$ para todo $x$,

2. $g''(x) >0$ para todo $x$

Luego simplemente elegimos $g(x)=e^{-x}$. Entonces un ejemplo es $-e^{e^{-x}}$.

Este es un cálculo incorrecto. Intentaré corregirlo. $(f’(x))^2$ debería ser $(g’(x))^2 e^{2g(x)}$.

EDITAR 2

Después de revisar mi ejemplo anterior y leer todos los comentarios de nuevo. Veo que no existe una función real para la primera pregunta. (Gracias por el comentario en @mihaild.)

De hecho, supongamos que existe $f(x)$ que cumple la primera condición. Entonces $g(x)=e^{f(x)}$ es una función positiva, estrictamente creciente y estrictamente cóncava. Pero por su concavidad $$g(x) \leq g(0)+ g'(0)x.$$ Como $g'(0)>0$, tenemos $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}g(x) =-\infty$, lo cual contradice su positividad.

Answer 1

Sea $g=1/f'$ entonces $g'>1,g>0\,\forall x\in \Bbb R$ lo cual es imposible, por lo tanto tal función $f$ no existe.

Answer 2

Agregando a la solución de TheSimpliFire (porque no puedo comentar), se puede demostrar la afirmación de que una función diferenciable de $\mathbb{R}$ en sí misma tal que $g>0$ y $g'>1$ no puede existir aplicando el teorema del valor medio a $g$, obteniendo \begin{equation} |g(x)-g(y)|>|x-y| \text{ para todo x,y}. \end{equation} Por definición, la función es inyectiva. Siendo continua e inyectiva, lleva conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Entonces $f(\mathbb{R})$ es abierto. Además, tomando una secuencia $(x_{n})$ que converge a $x$ en $\mathbb{R}$ observamos que $f(x_{n})$ va a $f(x)$ por lo que $f(\mathbb{R})$ es cerrado. Siendo tanto abierto como cerrado en $\mathbb{R}$, $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$.

La función es sobreyectiva, contradiciendo el hecho de que solo puede tomar valores positivos.

Answer 3

Después de la elegante solución de TheSimpleFire. ¿Es mi razonamiento simple y correcto?:

Sea $g(0)=N>0$. Entonces $$\int_{-N-1}^0 g'(x)dx>\int_{-N-1}^0 1\;dx$$ $$g(0)-g(-N-1)>N+1$$ $$N-g(-N-1)>N+1$$ $$g(-N-1)<-1$$ contradiciendo la positividad de $g(x)$.