Resolver por induccion

Question

31 + 32 + 33 +... + = (3n+1 – 3)/2

Answer 1

Para resolver por inducción la igualdad dada, primero debemos verificar el caso base, que en este caso es cuando n = 1:

Para n = 1:

(3(1) + 1 - 3)/2 = (3 + 1 - 3)/2 = 1

Y la suma de los primeros términos es:

31 = 1

Por lo tanto, el caso base se cumple.

Ahora, asumamos que la igualdad es cierta para n = k, es decir:

31 + 32 + 33 + ... + k = (3k + 1 - 3)/2

Queremos demostrar que también es cierta para n = k + 1, es decir:

31 + 32 + 33 + ... + k + (k + 1) = (3(k + 1) + 1 - 3)/2

Sumamos (k + 1) a ambos lados de la igualdad asumida:

31 + 32 + 33 + ... + k + (k + 1) = (3k + 1 - 3)/2 + (k + 1)

Simplificamos y operamos:

(3k + 1 - 3)/2 + (k + 1) = (3k + 1 - 3 + 2k + 2)/2 = (3k + 2k + 1 - 3 + 2)/2 = (5k)/2 = (3(k + 1) + 1 - 3)/2

Por lo tanto, hemos demostrado que la igualdad es cierta para n = k + 1. Esto concluye la demostración por inducción y probamos que:

31 + 32 + 33 + ... + = (3n + 1 - 3)/2 para todo n en los números naturales.