Método General para "naturalmente interpolar" a un complejo mapa?

Question

Dada una región del plano complejo y un mapa de la $z \to f(z)$, es allí una manera general a "naturalmente interpolar" el punto de $z$ $f(z)$de tal manera que el movimiento de la siguiente manera "natural" camino suave que no genera innecesarios "kinks" y se superpone?

Antecedentes: puedo hacer animaciones educativas. Un par de proyectos en los que he estado jugando con involucrar a los números complejos. Estoy tratando de averiguar un método general para animar mapas complejos que parecen buenas y naturales en términos de suave deformaciones del plano complejo.

Perdóname, pero no tengo manera con confianza y formalmente el estado de esta cuestión en este punto. Pero me puede ilustrar.

Aquí es un gran video que ilustra las transformaciones de Möbius. Se puede ver que para la inversión, los puntos en el plano de seguir una bastante camino natural desde el inicio hasta el final. De esta manera se sigue naturalmente de la rotación de la esfera utilizada en la proyección, en este caso en particular.

Pero he aquí lo que un ingenuo interpolación lineal ( $z \to (1-t) z + t f(z)$ ,$0 \leq t \leq 1$) de la misma transformación $z \to \frac{1}{z}$ parece:

Como se puede ver, este método crea una gran cantidad de "the kinks" extraño y curvas a lo largo de la manera. (También, ignore las líneas rectas). Estoy tratando de evitar esto, ya que hace que la animación más confuso de lo que debería ser.

Algunos otros ejemplos. Aquí está el mismo método para $z \to z^2$:

Y $z \to e^z$ (con $[-1,1] \times [-\pi,\pi]$):

En todos estos casos, puedo imaginar diferentes y de formas más naturales para deformar a lo largo del camino, pero no he venido para arriba con una manera general para hacer frente a este problema. Tengo la esperanza de que hay algo en el análisis complejo que puede ser útil aquí, pero no he encontrado nada todavía. Alguna idea?

EDIT: Aquí es $z \to e^z$ el uso de Rahul método con algunos de traducción:

Esto es casi un perfecto ejemplo del tipo de "natural" transformación estoy buscando. Cada nuevo paso que parece una evidente deformación en el paso anterior siguiente el mismo "estilo". Crea una agradable sensación de deliberación, lo que hace que el movimiento intuitivo, comprensible y predecible.

Answer 1

Supongamos $f$ es tal que $f(0)=0$$f'(0)=1$. Entonces podemos definir $$f_t(z) = \begin{cases} z & \text{if %#%#%,} \\ \frac1tf(tz) & \text{otherwise.} \end{casos}$$ Uno puede comprobar que $t = 0$$\lim\limits_{t\to0}f_t={\rm id}$, lo $f_1=f$ interpola $f_t$${\rm id}$. Además, si $f$ es una analítica (o polinomial o racional, etc.) la función, entonces también lo es $f$.

Por ejemplo, cuando se $f_t$, $f(z)=e^z-1$ es también exponencial:

Si $f_t(z)$ no satisface las condiciones de $f$$f(0)=0$, vamos a transformarla para que se hace. Elegir un punto de $f'(0)=1$ tal que $z_0$. Deje $f'(z_0)\ne 0$$w_0=f(z_0)$. Definir un par de transformaciones rígidas $$\begin{align} u=\phi_0(z) &= a^{1/2}(z-z_0), \\ v=\phi_1(w) &= a^{-1/2}(w-w_0), \\ \end{align}$$ y definir $a=f'(z_0)$, de modo que este diagrama conmuta: $$\requieren{AMScd} \begin{CD} z @>{\phi_0}>> u \\ @V{f}VV @VV{g}V \\ w @>>{\phi_1}> v \end{CD}$$ Uno puede comprobar que $g$$g(0)=0$. Por lo tanto, $g'(0)=1$ satisface las condiciones para la interpolación como el anterior. También podemos construir una familia de transformaciones rígidas interpolando entre $g$$\phi_0$, por ejemplo a través de $\phi_1$$ A continuación, podemos interpolar $$\phi_t = a^{1/2-t}(\cdot-(1-t)z_0-tw_0).$ por "cortar" el diagrama de una parte del camino hacia abajo, dando $f$$

He aquí algunos ejemplos más.

$$f_t = \phi_t^{-1}\circ g_t\circ\phi_0.$ $f(z)=1/z$:

$z_0=-i$ $f(z)=e^z$:

A veces ayuda a insertar con otras transformaciones, antes de realizar la interpolación. Por ejemplo, $$\requieren{AMScd} \begin{CD} z @>{\log}>> @>{\phi_0}>> u \\ @V{f}VV @. @VV{g}V \\ w @>>{\log}> @>>{\phi_1}> v \end{CD}$$

$z_0=0$ $f(z)=z^2$ (esto se reduce a $z_0=\log 1$, no muy lejos de la obvia $f_t(z)=z^{2^t}$):

Answer 2

También he hecho algunos gráficos como este en el que necesitaba algún tipo de interpolación. A menudo me acabé tratando de encontrar una fórmula general que incluye el primer caso, así como el destino como casos especiales donde cada uno sólo algunos parámetros tienen que ser cambiado. Por ejemplo, para la función de $z \mapsto z^2$ más en general, de la función sería $f_c(z) = z^c$ y para la interpolación, que acababa de intentar 'diapositiva' c de$1$$2$.

En el siguiente ejemplo vamos a echar un vistazo a una transformación de moebius $z \mapsto \frac{z}{2z+3}$ Aquí tiene múltiples opciones de hacer la transición. Ahora usted puede tomar, por ejemplo, $f_{a,b,c}(z) = \frac{z}{(az+b)^c}$ Aquí podemos, por ejemplo, 'diapositiva' $c$ $0$ $1$ $a=2, b=3$o diapositiva simultaneausly $a$ $0$ $2$ $b$ $1$ % # % o combinar ambos con el deslizamiento de $3$.

Por ejemplo, $c$ "más general de la función' podría tener este aspecto $z \mapsto e^z$ (el resultado de la interpolación lineal con el método sugerido), pero también puede tratar de $z \mapsto az+be^z$ etc.

A menudo toma un poco de ensayo y error para encontrar un "la manera correcta", pero esta parece que a muchos ejemplos. Yo uso a menudo, a continuación, una variable adicional $z \mapsto z^a+e^{zb} -1$ que definides el deslizamiento con $t$ para el estado inicial y $t=0$ para el estado de destino y $t=1$ para todo lo que entre, para, a continuación, la función se parece a esto:

$t\in(0,1)$$

El uso de esta variable hace que sea más fácil de modificar de nuevo la acción de deslizamiento reemplazando t por las diferentes funciones que se asignan $$F_t(z) = f_{2t,2t+1,t}(z)$ $[0,1]$continuamente con $[0,1]$$0 \mapsto 0$. Usted puede fácilmente hacer una lista de las diferentes funciones como esta que usted puede intentar, a continuación, la optimización de las transiciones. E. g. $1 \mapsto 1$,$t \mapsto sin(t\pi)^c$,$t \mapsto t^c$ y así sucesivamente.

EDIT: Hemos encontrado todavía ninguna solución satisfactoria, aquí la gráfica de $t \mapsto -2t^3+3t^2$ relacionados con el problema mencionado en los comentarios.