Digamos que sé que un polinomio $f\in\mathbb R[x]$ de grado $n$ tiene raíces $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb R$. ¿Puedo mostrar que $$f(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$$ como consecuencia del teorema del factor? Quiero evitar el teorema fundamental del álgebra, ya que solo quiero demostrar a mis estudiantes que todo polinomio es el producto de sus raíces (si tiene $n$ raíces), y aún no han visto números complejos.
El problema radica en lidiar con raíces repetidas, ya que si tenemos que los $\alpha_i$ son todos distintos, entonces por el teorema del factor, tenemos que $f(x)=(x-\alpha_1)s(x)$ para algún $s\in\mathbb R[x]$ con $\deg(s)=n-1$, y como $(\alpha_2-\alpha_1)\neq 0$, debemos tener $s(\alpha_2)=0$, por lo que podemos aplicar el teorema nuevamente para obtener $f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)t(x)$, y así sucesivamente hasta factorizar $f$ completamente.
Pero si algunas de las $\alpha_i$ se repiten, esto complica las cosas. De hecho, ¿qué significa tener una "raíz repetida" si no se me permite asumir que $f$ es igual a $\prod_i(x-\alpha_i)$? Ten en cuenta que mis estudiantes aún no han visto derivadas, por lo que no puedo decir que una raíz de orden $n$ también es un cero de las primeras $n-1$ derivadas o algo así.
