Valores propios del complemento de Schur

Question

Para una matriz de bloque invertible y simétrica como la siguiente, ¿existe alguna relación entre los eigenvectores de $M$ y los de los complementos de Schur y las matrices en la diagonal?

\begin{align} M = \begin{bmatrix}A & B \\ B^T & C\end{bmatrix} \end{align}

Answer 1

Sí, de la fórmula de aditividad de la inercia de Haynsworth

$$ \text{In}(M)=\text{In}(C)+\text{In}(\underbrace{A-BC^{-1}B^T}_{M~\setminus~ C})=\text{In}(A)+\text{In}(\underbrace{C-B^TA^{-1}B}_{M~\setminus~ A}) $$

donde $\text{In}()$ denota la inercia (conjunto ordenado del recuento de valores propios positivos, negativos y cero de una matriz).