Derivada de la función módulo $|\tan x| + |\sec x|$ en $x = \frac{5\pi}{6}$

Question

Encuentra la derivada de $|\tan x| + |\sec x|$ en $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

Realmente estoy teniendo dificultades para resolver este tipo de preguntas de derivadas que involucran funciones de módulo. Intenté resolverlo pero no estoy seguro si es un buen método.

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Así es como intenté esto:

Dado que la derivada de $|x| = \dfrac{x}{|x|}$,

La derivada de $|\tan x| + |\sec x| = \dfrac{\tan x}{|\tan x|}\cdot \sec^2{x} + \dfrac{\sec x}{|\sec x|} \cdot \sec{x}\cdot\tan x =\tan x\sec^2{x}\left[\dfrac{1}{|\tan x|} +\dfrac{1}{|\sec x|} \right]$

Sustituyendo $x= \dfrac{5\pi}{6}$ $$\tan (\frac{5\pi}{6})\sec^2{(\frac{5\pi}{6})}\left[\dfrac{1}{|\tan (\frac{5\pi}{6})|} +\dfrac{1}{|\sec (\frac{5\pi}{6})|} \right]$$ $$\implies\tan (\pi - \frac{\pi}{6})\sec^2{(\pi - \frac{\pi}{6})}\left[\dfrac{1}{|\tan (\pi - \frac{\pi}{6})|} +\dfrac{1}{|\sec (\pi - \frac{\pi}{6})|} \right]$$ $$\implies-\tan (\frac{\pi}{6})\sec^2{(\frac{\pi}{6})}\left[\dfrac{1}{|\tan (\frac{\pi}{6})|} +\dfrac{1}{|\sec (\frac{\pi}{6})|} \right]$$ $$\implies- \Big(\frac{1}{\sqrt{3}}\Big){\Big(\frac{2}{\sqrt{3}}\Big)^2}\left[\dfrac{1}{|\tan (\frac{1}{\sqrt3})|} +\dfrac{1}{|\sec (\frac{2}{\sqrt3})|} \right]$$ $$\implies- \Big(\frac{4}{3\sqrt{3}}\Big)\left[\sqrt3+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right]$$ $$\implies- \Big(\frac{4}{3}\Big)\left[1+\dfrac{1}{2} \right]$$ $$\implies- \Big(\frac{4}{3}\Big)\left[\dfrac{3}{2} \right]$$ $$\implies-2$$

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Me pregunto si existen otros métodos más cortos/fáciles.

¡Gracias por tu tiempo! :D

Answer 1

En $\left(\frac\pi2,\pi\right)$, siempre tienes $\tan x<0$ y $\sec x<0$. Por lo tanto, en ese intervalo tienes que, si $f(x)=|\tan x|+|\sec x|$, entonces $f(x)=-\tan(x)-\sec(x)$, y así $$f'(x)=-\sec^2(x)-\tan(x)\sec(x).$$Esto simplifica los cálculos.