Demostración de convergencia de $(\sqrt[n]{25})_{n\in\mathbb N}$ y $(\frac{2^n}{n!})_{n\in\mathbb N}$

Question

Quiero demostrar que $(\sqrt[n]{25})_{n\in\mathbb N}$ y $(\frac{2^n}{n!})_{n\in\mathbb N}$ son convergentes.

Entonces, para el primero hice lo siguiente:
\[25=(1+\delta_n)^n \\ \Rightarrow25\geq1+n\delta_n \\ \Rightarrow \frac{24}{n}\geq\delta_n\geq0\]

Así que $\delta_n\rightarrow0$ y por lo tanto $\sqrt[n]{25}\rightarrow 1$

Pero no entiendo la segunda secuencia. ¿Hay algún truco? (Acabamos de tener la definición de convergencia de una secuencia y algunas propiedades, por ejemplo, límite único) ¿Además hay pasos más fáciles para la primera secuencia?

Answer 1

Otra respuesta a la primera pregunta: nota que $\log\sqrt[n]{25} = \frac1n\log25$ ciertamente tiende a $0$. Dado que la función $e^x$ es continua en $x=0$, puedes concluir que $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{25} = \lim_{n\to\infty} e^{\log\sqrt[n]{25}} = e^{\lim_{n\to\infty} (\log\sqrt[n]{25})} = e^0 = 1. $$

Otra respuesta a la segunda pregunta: nota que \begin{align*} 0 \le \frac{2^n}{n!} &= \frac{2\cdot2\cdot2\cdots2\cdot2}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n} \\ &= \frac21 \frac22 \frac23 \cdots \frac2{n-1} \frac2n \\ &\le 2\cdot1\cdot1\cdots1\cdot\frac2n = \frac4n. \end{align*} Ahora puedes usar el teorema del apriete para mostrar que $\frac{2^n}{n!}$ tiende a $0$.

Answer 2

Bien, puedes notar que $$\cfrac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\frac{2^{n+1}n!}{2^n(n+1)!}=\frac2{n+1}$$ para todo $n.$ En particular, para $n\ge 2,$ tenemos $$\cfrac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}\le\frac23,$$ y entonces $$\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac23\cdot\frac{2^n}{n!}.$$ Por lo tanto, tienes una sucesión eventualmente decreciente de números positivos, así que puedes concluir...¿qué?

En cuanto al primero, tu enfoque está perfecto.