Problema de trigonometría con números complejos

Question

Usa $ \cos (n\theta) $ = $ \frac{z^n +z^{-n}}{2} $ para expresar $ \cos \theta + \cos 3\theta + \cos5\theta + ... + \cos(2n-1)\theta $ como una serie geométrica en términos de z. Por lo tanto, encuentra esta suma en términos de $ \theta $.

He intentado de todo en el mundo y aún no puedo igualar la respuesta final. ¿Podría por favor tener una pequeña pista sobre el camino correcto a seguir?

Gracias

Answer 1

$ \cos θ+ \cos 3θ+ \cos 5θ+\cdot \cdot \cdot+ \cos(2n−1)θ$ = $ \dfrac{z+z^{-1}}{2} + \dfrac{z^3+z^{-3}}{2} + \dfrac{z^5+z^{-5}}{2} + \cdot \cdot \cdot + \dfrac{z^{(2n+1)}+z^{-(2n-1)}}{2} $ $$\\$$ = $ 2^{-1}(z+z^3+z^5+z^7+\cdot \cdot \cdot + z^{2n-1}) + 2^{-1}( z^{-1}+z^{-3}+z^{-5} +\cdot \cdot \cdot + z^{-(2n-1)}) $

Luego aplica la fórmula de la serie geométrica.

Answer 2

$$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

$$\cos x = \mathrm{Re} \;e^{ix}$$

Así

$$\cos \theta + \cos 3\theta + ... +\cos (2n-1)\theta=\sum_{k=0}^{n-1} \cos (2k+1)\theta$$ $$=\mathrm{Re} \; \sum_{k=0}^{n-1} e^{i(2k+1)\theta} =\mathrm{Re} \; \left(e^{i\theta}\sum_{k=0}^{n-1} e^{2ik\theta}\right) =\mathrm{Re} \; \left(e^{i\theta}\frac{e^{2in\theta}-1}{e^{2i\theta}-1}\right)$$

(por cierto, la serie geométrica que estás buscando es la suma del medio de arriba, con $z=e^{i\theta}$)

Y

$$\frac{e^{2in\theta}-1}{e^{2i\theta}-1}=\frac{e^{in\theta}}{e^{i\theta}} \frac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}$$ $$=e^{i(n-1)\theta} \frac{\sin n\theta}{\sin \theta}$$

Así

$$\mathrm{Re} \; \left(e^{i\theta}\frac{e^{2in\theta}-1}{e^{2i\theta}-1}\right)= \mathrm{Re} \; \left(e^{i\theta}e^{i(n-1)\theta} \frac{\sin n\theta}{\sin \theta}\right) = \frac{\sin {n\theta}\cos {n\theta}}{\sin {\theta}}=\frac{\sin 2n\theta}{2 \sin {\theta}}$$

Finalmente,

$$\cos \theta + \cos 3\theta + ... +\cos (2n-1)\theta=\frac{\sin 2n\theta}{2 \sin {\theta}}$$