Encuentra $\cos\theta$ donde $‖\mathbf{a}‖=6, ‖\mathbf{b}‖=8, ‖\mathbf{a}+\mathbf{b}‖=11$, y $\theta$ es el ángulo entre $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$.

Question

Esta es una pregunta de AOPS que realmente no entiendo. Me encantaría que alguien me mostrara cómo resolver esta pregunta desde el principio.

Dados los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ tales que $\|\mathbf{a}\| = 6,$ $\|\mathbf{b}\| = 8,$ y $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| = 11.$ Encuentra $\cos \theta,$ donde $\theta$ es el ángulo entre $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}.$

No sé (no es que no entienda, sino que no sé) cómo encontrar $\mathbf{a}$ o $\mathbf{b}$ ya que no son números sino vectores. Se supone que esto es una lección para el próximo año y estoy tratando de adelantarme, pero realmente no entiendo esto.

Answer 1

¡Hola! Acabo de releer tus comentarios y me di cuenta de que no estás tratando de decir que estoy publicando preguntas de competencia y ya lo resolvimos. Perdón por mi tono.

1. $\|a\|= 6$
2. $\|b\|= 8$
3. $\|a+b\|^2= (a+b)\cdot(a+b)$

(método arcoiris) $\to$

4. $(a+b)\cdot(a+b) = \|a\|^2+2(a\cdot b)+\|b\|^2$
5. $11^2=121$
6. $121=\|a\|^2+2(a\cdot b) + \|b\|^2=100+2(a\cdot b)$
7. $2(a \cdot b)=21$
8. $a \cdot b=21/2=10.5$
9. $\|a\|\|b\|\cos\theta=10.5$
10. $6 \times 8 \cos \theta=10.5$
11. $48 \cos \theta=10.5$
12. $\cos \theta= 10.5/48$
13. $\cos \theta=21/96=7/32$