Si $\,\,\frac{x^2}{cy+bz}=\frac{y^2}{az+cx}=\frac{z^2}{bx+ay}=1,$ entonces demuestra que ....

Question

Estoy atascado en el siguiente problema que uno de mis amigos me dio:

Si $\,\,\frac{x^2}{cy+bz}=\frac{y^2}{az+cx}=\frac{z^2}{bx+ay}=1,$ entonces muestra que $$\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1$$. Hice un problema similar a este pero no pude abordar este en particular. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

CONSEJO:

Podemos tener $$x^2=cy+bz\iff ax+cy+bz=x^2+ax=x(x+a)$$

$$\implies\frac1{a+x}=\frac x{ax+cy+bz}\implies \frac a{a+x}=\frac{ax}{ax+cy+bz}$$

Answer 2

Está mal. Pon $x=y=1, z=-1$. Entonces, de la primera condición obtenemos el sistema $$ -a+c=1, \\b+a=1,\\ -b+c=1. $$ Se sigue que $ a= \frac 12,b= \frac 12,c= \frac 32. $ Entonces $$ {\frac {a}{a+x}}+{\frac {b}{b+y}}+{\frac {c}{c+z}}={\frac {a}{a+1}}+{\frac {b}{b+1}}+{\frac {c}{c-1}}=\frac{11}{3}\neq 1. $$