Acerca de la simetría del tensor de Riemann

Question

Es un problema en mi tarea.

Primero se me pidió mostrar $$ \nabla_a\nabla_bA_c-\nabla_b\nabla_aA_c=R_{a,b,c}^{\;\;\;\;\;d}A_d $$

donde $A$ es un tensor (0,1) y $R_{a,b,c}^{\;\;\;\;\;d}$ es el tensor de curvatura de Riemann, que se define como $$ \nabla_a\nabla_bV^c-\nabla_b\nabla_aV^c=R_{a,b,d}^{\;\;\;\;\;c}V^d $$

Lo probé.

Luego la pregunta dice

Por lo tanto, muestra que $R_{a,b,c}^{\;\;\;\;\;d} + R_{b,c,a}^{\;\;\;\;\;d} + R_{c,a,b}^{\;\;\;\;\;d} = 0$

Sin embargo, no sé cómo se puede deducir a partir de la identidad anterior. Intenté observar $$ [\nabla_a,\nabla_b]A_c + [\nabla_b,\nabla_c]A_a + [\nabla_c,\nabla_a]A_b $$

Pero no parece obvio que sea cero.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Basta con demostrar que $$R_{a,b,c}^{d} A_{d} + R_{b,c,a}^{d}A_{d} + R_{c,a,b}^{d}A_{d} = 0$$

para cualquier $A_d$. Expandiendo mediante la primera fórmula, obtenemos

$$\left( \nabla_{a}\nabla_{b}A_{c} - \nabla_{b}\nabla_{a}A_{c} \right) + \left( \nabla_{b}\nabla_{c}A_{a} - \nabla_{c}\nabla_{b}A_{a} \right) + \left( \nabla_{c}\nabla_{a}A_{b} - \nabla_{a}\nabla_{c}A_{b} \right)$$

Ahora, si tomamos los primeros y últimos términos

$$\nabla_{a}\nabla_{b}A_c - \nabla_{a}\nabla_{c}A_b = \nabla_{a}(\nabla_{b}A_{c} - \nabla_{c}A_b) = \nabla_{a}(\nabla_{b}c(A) - \nabla_{c}b(A))$$ $$ = \nabla_{a}(\nabla_{b}c - \nabla_{c}b)A = \nabla_{a}([b,c]A) = 0$$

Dado que $a,b,c$ son campos vectoriales coordenados para los cuales el corchete de Lie se anula o es constante. Los otros pares de términos se cancelan de manera similar.