Weil no implica Cartier en la variedad $X$.

Question

Muestran que el divisor $D$ definido por $a = b = 0$ en la variedad $X \subset \mathbb{A}^4$ definido por $ad - bc = 0$ $($el cono sobre una suave quadric surface$)$ no es localmente principal.

Mi intento de prueba es como sigue. Si $D \cap U = X \cap V(f) \cap U$ algunos $f \in k[a, b, c, d]$ y algunos no vacío abierto $U \subset \mathbb{A}^4$, entonces podemos asumir que $f$ es homogéneo. Tenemos una foto en $\mathbb{P}^3$. El resultado $($efectivo$)$ Cartier divisor debe extenderse a un divisor de Cartier en $\mathbb{P}^3$, por lo que su línea asociada paquete es un retroceso de algunos $\mathcal{O}(d)$ $d$ positivo. Sé que si $S: \mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^N$ es el Segre incrustación, tenemos $S^*\mathcal{O}(1) \cong \pi_1^*\mathcal{O}(1) \otimes \pi_2^*\mathcal{O}(1)$. Ahora, la retirada de la mencionada es$\mathcal{O}(d) \otimes \mathcal{O}(d)$$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$; esto nos da una contradicción, porque el divisor es $a = b = 0$, que no es realmente una cosa (no pullback a es un divisor de a $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$).

EDIT: Un camino más fácil para finalizar es simplemente marque el espacio de la tangente. Una de estas es $2$, el otro es, al menos,$3$.

No estoy completamente seguro de si este enfoque es completamente correcto, aunque. Algunos comentarios se agradece. También, si alguien pudiera suministrar una prueba o un enlace a uno, que sería bueno.

Answer 1

Lo siento resucitar a mi vieja pregunta, pero en aras de la exhaustividad, voy a ofrecer una solución completa.

Considerar el espacio de la tangente en el origen de nuestra divisor $D$. Tenemos$$k[D] = k[a, b, c, d]/(a, b, ac - bd) \cong k[c, d].$$This Zariski cotangent space has dimension $2$ here (generated by $c$, $$d).

Ahora, consideremos un espacio de la tangente de $X \cap V(f)$. El anillo de coordenadas aquí es $$k[a, b, c, d]/(f, ac - bd).$$Modding out by $ac - bd$ does not change the dimension of the tangent space at the origin, as it is inside $\mathfrak{m}^2$. However, $(f)$ has height at most $1$, so it can change the tangent dimension by at most $1$. Thus, the dimension of the ring here, and hence the local ring at $0$ (localizing at maximal ideal can not change dimension), must be at least $4 - 1 = 3$, pero este es un límite inferior para la tangente de la dimensión, por lo que podemos hacer lo mismo para que.

Por lo tanto, en un conjunto abierto $U$ que contiene el origen, es imposible para $D \cap U$ a de acuerdo con $X \cap V(f) \cap U$, mientras ellos tienen diferentes cotangente dimensiones en el origen.