Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales y cuadráticas con coeficientes racionales y queremos determinar si este sistema tiene una solución real o no. Los valores reales de una solución no son importantes.
Para ser específicos, sea $D\in \mathbb{Q}^{m\times n}$, $Q_1,\ldots,Q_r \in \mathbb{Q}^{n\times n}$, y $c_1,\ldots c_r\in \mathbb{Q}$. Nuestro objetivo es determinar si existe un $x\in \mathbb{R}^n$ tal que: $$Dx=0,$$ $$x^TQ_1x=c_1,\ldots,x^TQ_rx=c_r.$$
Entonces mi pregunta es la siguiente: ¿existe un algoritmo de tiempo polinómico para determinar la existencia de una solución real? O aún mejor, ¿existe una condición sencilla en las matrices $D,Q_1,\ldots,Q_r$ y los escalares $c_1,\ldots,c_r$ que sea equivalente a la existencia de una solución real?
Es importante destacar que la existencia de una solución compleja se puede verificar calculando una base de Gröbner para el ideal relevante y comprobando que este ideal no sea el anillo de polinomios completo (usando el Nullstellensatz débil). Pero en el caso real, no estoy al tanto de alguna forma de resolver el problema de forma algorítmica (usando, por ejemplo, el Nullstellensatz real).
(Existencia de una solución con valores reales para un sistema de ecuaciones polinómicas multivariables y su respuesta son relevantes, pero debido a la falta de conocimiento en geometría algebraica, busco una respuesta más específica).
