¿Cómo evaluar $\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$?

Question

Estoy tratando de encontrar el punto de convergencia de:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \quad(1)$$

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La suma converge (prueba de comparación con $\sum \frac{1}{n^3}$).

Su forma indica una serie telescópica, pero estoy teniendo dificultades para encontrar la suma parcial, debido a la gran cantidad de términos en el denominador.

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Por lo tanto, mi segunda idea fue fracciones parciales, es decir:

$$\sum _{n=1}^{\infty}\:\frac1{2n}- \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)}$$

pero expandir esta suma es un lío.

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Answer 1

CONSEJO. Tienes la expansión en fracciones parciales. Comienza a escribir los términos y notarás que hay muchas cancelaciones. Luego, evaluar la suma debería ser fácil una vez que reconozcas el tipo de serie.

Answer 2

Tienes $$\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac2{n+1}+\frac1{n+2}\right).$$ Agreguemos los primeros términos para ver qué está sucediendo: \begin{align} 2\sum_{n=1}^4\frac1{n(n+1)(n+2)}&=\left(1-\frac22+\frac13\right) +\left(\frac12-\frac23+\frac14\right)+\left(\frac13-\frac24+\frac15\right)+ \left(\frac14-\frac25+\frac16\right)\\ &=1-\frac12+\frac03+\frac04-\frac15+\frac16. \end{align} Después de $N$ términos, $$2\sum_{n=1}^N\frac1{n(n+1)(n+2)}=1-\frac12-\frac1{N+1}+\frac1{N+2} =\frac12-\frac1{(N+1)(N+2)}$$ etc.

Answer 3

Te resultará más fácil trabajar con $$\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left(\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}\right)$$

Answer 4

$$ \frac1{2n}- \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} = \frac12\left[\frac1n - \frac1{n+1} -\left(\frac1{n+1} - \frac1{n+2}\right)\right] = F(n) - F(n+1)$$ donde $F(n) := \frac12(\frac1n - \frac1{n+1})$. Entonces $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = F(1) - F(N+1)\to F(1)=\frac14.$$