Inequalidad de Poincaré con cociente de diferencia

Question

Para la desigualdad clásica de Poincaré, si $u \in H^1_0(\Omega)$, entonces $$\int_\Omega u^2 \,dx \le C \int_\Omega |\nabla u|^2 \,dx.$$ ¿Tenemos algo similar con el cociente de diferencia? Es decir, ¿tenemos que si $u \in L^2(\Omega)$ y $u=0$ en $\partial\Omega$, entonces $$\int_\Omega u^2 \,dx \le C \sum_{k=1}^n \int_\Omega |D^h_k u(x)|^2 \,dx,$$ donde el cociente de diferencia se define como $$D^h_k u = \frac{u(x+he_k) - u(x)}{h}$$ con $e_k$ como el vector unitario de coordenada normal estándar. ¿Cómo puedo demostrarlo, o dónde puedo buscar su prueba?

Me gustaría imitar la prueba de la desigualdad original de Poincaré, pero no sé cómo escribir el Teorema Fundamental del Cálculo en cociente de diferencia. Espero que alguien me pueda mostrar.

Gracias.

Answer 1

De hecho, se cumple. Bueno, si $\Omega$ está acotado, $u=0$ en $\Omega^c$ no solo en $\partial \Omega$, y con una integral ligeramente mayor en el lado derecho. En el lado positivo, solo necesitas un $k$.

Tu idea ya es bastante buena. Ahora, escribes $$u(x) = -h \sum_{l=0}^{N_h} D^h_k u(x+l h e_k),$$ donde $N_h$ es tal que $N_h h \geq diam(\Omega)$ y $N_h h \leq C$ (por ejemplo, $C=diam(\Omega)+1$ si $h \leq 1$). Luego procedes como en la demostración estándar: $$\int_{\Omega} u^2 \leq h^2 N_h \int_{\mathbb{R}^n} \sum_{l=0}^{N_h} \lvert D^h_k u(x+l h e_k) \rvert^2 \,dx = h^2N_h^2 \int_{\mathbb{R}^n} \lvert D^h_k u(x) \rvert^2 \,dx $$