Prueba del número de grados de libertad de un cuerpo rígido con más de 3 puntos de masa

Question

Sé que el número de grados de libertad de un sistema compuesto por M partículas sujetas a j restricciones es: $$ DOF = 3M - j$$. Ahora mi libro menciona que el número de grados de libertad ($DOF$) de un cuerpo rígido con más de tres puntos de masa siempre es 6. Sin embargo, ¿por qué es ese el caso? ¿Cuál es la demostración de esta afirmación? Por ejemplo, en la imagen a continuación, yo pensaría que el número de restricciones $j$ es: $$j = 3 longitudes + 2 ángulos$$ y por lo tanto $DOF = 4*3 - 5 = 7$. ¿Dónde me equivoqué?

Answer 1

Hay un ángulo más en esa rotación alrededor del palo central que no está permitido. Si las cuatro masas están en un plano, deben permanecer en un plano. Si las tres de la derecha están en el plano del papel y la del lado izquierdo está en el plano vertical a través del palo central, debe permanecer de esa manera. Para un cuerpo rígido hay tres grados de libertad angulares. En tu dibujo podemos empezar desde la masa de la mano derecha. Tienes dos ángulos para posicionar la siguiente masa, luego una rotación alrededor de la línea entre las dos primeras masas para localizar la tercera. Después de eso, la ubicación de todos los puntos está fija.