En primer lugar, un espacio topológico que es localmente homeomorfo a un espacio euclidiano es localmente compacto, cf. esto, y localmente conexo ya que esas propiedades son locales y preservadas por homeomorfismos (y se cumplen para espacios euclídeos). Entonces
$M$ segundo-numerable $\Longrightarrow\ M$ paracompacto con un número contable de componentes conectadas:
Esto es Lemma 1.9 p.9 Fundamentos de Variedades Diferenciables y Grupos de Lie, Frank W. Warner o Thm 4.77 p.110 Introducción a Variedades Topológicas, John Lee:
Los autores muestran en la primera parte que $M$ es numerablemente al infinito/$\sigma$-compacto, es decir $M = \bigcup_{n\in \mathbb{N}} K_n$ con $K_n \subset \overset{\circ}{K}_{n+1}$ compacto. Ahora sea $ \mathcal{U}:=(U_i)_{i\in I}$ una cubierta abierta de $M$:
$K_0$ es compacto y está cubierto por la familia de subconjuntos abiertos $(U_i\cap \overset{\circ}{K}_1)_{i\in I}$ por lo que se puede extraer una subsecuencia finita. (Lo mismo para $K_1$)
Luego por inducción: para cualquier $n \geq 2,\enspace \left(U_i\cap (\overset{\circ}{K}_{n+1}\backslash \overline{K}_{n-2})\right)_{i\in I}$ es una cubierta abierta de $\overline{K}_n\backslash K_{n-1}$, de donde se extrae una cobertura finita.
Construyendo de esta manera, se cubrirá cada $K_n$ y por lo tanto todo $M$; el subconjunto abierto de la cubierta tiene la forma $U_i\cap (\overset{\circ}{K}_{n+1}\backslash \overline{K}_{n-2})$ y por lo tanto está incluido en $U_i$ (refinamiento de una cubierta) y cualquier punto está en uno de los $\overset{\circ}{K}_n$ que está cubierto por un número finito de $U_i$ (cubierta localmente finita), es decir, $M$ es paracompacto.
Editar: esta última implicación no está bien justificada aquí porque una cubierta de $K_{n+1}$ o $K_{n-1}$ también puede intersectar con puntos de $K_n$ ... aunque la intuición es correcta...
En este post, se utiliza el hecho de que un espacio segundo-numerable es separable, junto con la conexión local para mostrar que $M$ tiene un número contable de componentes conectadas.
$M$ paracompacto con un número contable de componentes conectadas $\Longrightarrow\ M$ segundo-numerable :
Dado que $M$ tiene un número contable de componentes conectadas $(C_k)_{k\in \mathbb{N}}$, basta con demostrar que cada una de estas componentes tiene una base numerable ($\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ aún es numerable).
La idea es usar el hecho de que para cualquier carta $(U,\varphi)$ (de la definición de $M$ localmente Euclidiano), $ U$ es segundo-numerable ya que es homeomorfo a un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ que es segundo-numerable.
Se muestra nuevamente que $M$ es numerable al infinito / $\sigma$-compacto, pero comenzando con la hipótesis de que $M$ es paracompacto. Es similar a lo anterior, cf. Teorema 12.11 p.38 de Topology and Geometry, Glen E. Bredon.
Finalmente, con la $\sigma$-compacidad, $M$ está cubierto por un número contable de subconjuntos abiertos, cada uno de los cuales es segundo-numerable.
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