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¿Cómo resolver este problema de minimización con la potencia $0<p<1$?

Supongamos que $0, ¿cómo resolver el problema $$ \min_{0\leq m \leq 1} 99m^p + (1-m)^p $$ Sé que la solución es $m^\star = 0$ y también se puede verificar fácilmente con un gráfico, pero no puedo demostrarlo matemáticamente.

¿Alguien me puede ayudar a demostrar este problema o darme alguna pista?

Cualquier ayuda sería muy apreciada, gracias.

entrar descripción de la imagen aquí Este es el gráfico con $p = 0.5$, donde el eje x es el valor de $m$ y el eje y es el valor de la función objetivo de este problema.


Intenté resolver este problema mediante la condición KKT de la siguiente manera:

El Lagrangiano de este problema es $$ L(m,\lambda_1,\lambda_2) = 99m^p + (1-m)^p -\lambda_1m + \lambda_2(m-1) $$

Condición KKT:

\begin{align} 99pm^{p-1} - p(1-m)^{p-1} - \lambda_1 + \lambda_2 &= 0,\\ -m &\leq 0,\\ m-1 &\leq 0,\\ \lambda_1 &\geq 0,\\ \lambda_2 &\geq 0,\\ \lambda_1m &= 0,\\ \lambda_2(m-1) &= 0. \end{align} Con la solución óptima $m^\star = 0$, lo que implica que $\lambda_2 = 0$, $\lambda_1 \geq 0$ pero esto contradice con $(0-p) \geq 0$. También tengo dudas sobre si podríamos usar el gradiente (o KKT) en este problema.

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rretzbach Puntos 116

Estás minimizando una $f(m) = 99m^p + (1-m)^p$ sobre un intervalo cerrado. Por lo tanto, los puntos de frontera son candidatos automáticos, así que debes considerar $f(0) = 1$ y $f(1) = 99$.

Dentro del intervalo tienes $$ \begin{split} f'(x) &= 99pm^{p-1} - p(1-m)^{p-1}\\ f''(x) &= 99p(p-1) m^{p-2} + p(p-1)(1-m)^{p-2} \end{split} $$ y dado que $p-1 < 0$, tienes $f''(x) < 0$ en todas partes, lo que significa que la función es siempre cóncava hacia abajo y todos los extremos dentro son máximos. En consecuencia, no hay candidatos para los mínimos dentro, todos provienen de las fronteras.

Así, $f$ sobre $[0,1]$ se minimiza cuando $m=0$ y se maximiza cuando $m=1$ y aumenta en todas partes en el medio.

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