Supongamos que $0, ¿cómo resolver el problema $$ \min_{0\leq m \leq 1} 99m^p + (1-m)^p $$ Sé que la solución es $m^\star = 0$ y también se puede verificar fácilmente con un gráfico, pero no puedo demostrarlo matemáticamente.
¿Alguien me puede ayudar a demostrar este problema o darme alguna pista?
Cualquier ayuda sería muy apreciada, gracias.
Este es el gráfico con $p = 0.5$, donde el eje x es el valor de $m$ y el eje y es el valor de la función objetivo de este problema.
Intenté resolver este problema mediante la condición KKT de la siguiente manera:
El Lagrangiano de este problema es $$ L(m,\lambda_1,\lambda_2) = 99m^p + (1-m)^p -\lambda_1m + \lambda_2(m-1) $$
Condición KKT:
\begin{align} 99pm^{p-1} - p(1-m)^{p-1} - \lambda_1 + \lambda_2 &= 0,\\ -m &\leq 0,\\ m-1 &\leq 0,\\ \lambda_1 &\geq 0,\\ \lambda_2 &\geq 0,\\ \lambda_1m &= 0,\\ \lambda_2(m-1) &= 0. \end{align} Con la solución óptima $m^\star = 0$, lo que implica que $\lambda_2 = 0$, $\lambda_1 \geq 0$ pero esto contradice con $(0-p) \geq 0$. También tengo dudas sobre si podríamos usar el gradiente (o KKT) en este problema.