Determina todos los parámetros $a$ y $b$ tales que un polinomio dado por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ tenga exactamente una tangente que pase por el origen.
Mi trabajo:
Usemos la ecuación de la recta tangente:
$y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)$. Sabemos que $x=y=0$ porque la recta tangente pasa por $(0,0)$ (origen).
$y_0=y'(x_0)*x_0$. Luego necesitamos encontrar la derivada de $y$.
$y'(x_0)=3x_0^2+2ax_0+b$
Nuestra ecuación de la recta tangente luce así ahora.
$$y_0=(3x_0^2+2ax_0+b)x_0$$ $$x_0^3+ax_0^2+bx_0=3x_0^3+2ax_0^2+bx_0$$ $$2x_0^3+ax_0^2=0$$ $$x_0^2(2x_0+a)=0$$ O $x_0=0$ o $a=-2x_0$
Pero no estoy seguro de cómo terminar mi trabajo.
Respuesta
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La función dada siempre tiene una tangente en ${x_0} = 0$. Dado que podemos elegir cualquier ${x_0}$ el punto en f, (${x_0},f({x_0}$) también es un punto en una tangente que pasa por el origen cuando $a = -2{x_0}$.
La ordenada de este punto, para cualquier valor, $b$, se da por: $$x_0^3 - 2{x_0}x_0^2 + b{x_0} = -x_0^3 + b{x_0}.$$
Un esquema dinámico de la situación se puede ver en Geogebra:
