Resolver: $\tan\frac x2 = x,\> x\in(0,\pi)$

Question

Estoy tratando de calcular la distancia más corta entre dos puntos en una esfera en función de su radio y el ángulo que forman en el centro. Me quedé atascado en la ecuación: $$\tan(x/2) = x,\ 0

No tengo idea de cómo resolver esto.

Answer 1

Dado que no hay una solución analítica, puede ser deseable una forma cerrada aproximada. Reconociendo que la raíz dentro del intervalo $(0,\pi)$ está cerca de $\frac{3\pi}{4}$, sea $f (x) = x\cot\frac x2 -1$ y aproximemos la raíz $r$ como

$$ 0= f(r) = f(\frac{3\pi}{4})+ f’(\frac{3\pi}{4})(r-\frac{3\pi}{4})$$

Resolviendo para obtener

$$r= \frac{16+8\sqrt2-9\pi^2}{8\sqrt2-12\pi}= 2,3313$$

vs. la raíz numérica exacta $2.3311$

Answer 2

Dado que esta ecuación trascendental no puede resolverse analíticamente, se recurre a la iteración.

En el método de Newton, la cantidad a restar para la aproximación sucesiva de la raíz es, si $\tan x/2=t,$

$$ \dfrac{\tan x/2-x}{\frac12 \sec^2 x/2- 1}$$

$$ x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{2(t-x)}{t^2-1},$$

cuando puedes empezar en cualquier valor suficientemente cercano a la raíz esperada.

Existen numerosas raíces. La aproximación asintótica se puede observar gráficamente.. tiende a múltiplos impares de $(2 k -1)\pi.$