La relación entre la intersección de dos ideales primos y el anulador de dos elementos de ellos

Question

Sean $P,Q$ dos ideales primos tales que $P\cap Q\neq{0}$. Sea $a\in P\setminus Q$ y $b\in Q\setminus P$ tal que $ab\neq0$. Demuestra que si $P\cap Q\subseteq \text{Ann}(a)\cup \text{Ann}(b)$, entonces $P\cap Q \subseteq \text{Ann}(a)$ o $P\cap Q \subseteq \text{Ann}(b)$.

Answer 1

Gran parte de la información proporcionada es superflua. De hecho, $J\subseteq A\cup B$ implica $J\subseteq A$ o $J\subseteq B$ para cualquier ideal $J,A,B\triangleleft R$. Esto se puede demostrar por contradicción. Supongamos que $J\subseteq A\cup B$ y

$$\begin{cases}x\in A\setminus B \\ y\in B\setminus A \\ x,y\in J\end{cases}$$

Entonces $x+y\in J\subseteq A\cup B$. ¿En cuál de los conjuntos $A$ o $B$ podría estar $x+y$?

Answer 2

NOTA, dado que a∈P∖Q y b∈Q∖P, entonces (a+b)∉P y (a+b)∉Q. Así que (a+b)∉Z(R). Ahora, quiero demostrar esto por contradicción. Supongamos que existe c∈Z^* (R) tal que c∈Ann(a)∩Ann(b), esto implica que ca=0 y cb=0. Por lo tanto c(a+b)=0, una contradicción ya que (a+b)∉Z^* (R). Por lo tanto ca=0 o cb=0. Por lo tanto c∈Ann(a)∖Ann(b) o c∈Ann(b)∖Ann(a), y así P∩Q⊆Ann(a)\Ann(b) o P∩Q⊆Ann(b)\Ann(a).