Construyendo el proceso de Wiener en un espacio de probabilidad dado

Question

Esta es solo una pregunta corta, y puede ser demasiado básica, pero:

¿hay alguna forma de construir una secuencia de procesos wiener independientes en un espacio de probabilidad dado?

Answer 1

$\newcommand\om\omega\newcommand\Om\Omega\newcommand\F{\mathcal F}$Sea $(\Om,\F,P)$ un espacio de probabilidad.

Una condición necesaria y suficiente para que $(\Om,\F,P)$ admita una secuencia de procesos de Wiener independientes es que $(\Om,\F,P)$ sea no-atómico.

De hecho, como se señala en el comentario de mike, es suficiente demostrar que una condición necesaria y suficiente para que $(\Om,\F,P)$ admita una variable aleatoria $U$ uniformemente distribuida en $[0,1]$ es que $(\Om,\F,P)$ sea no-atómico.

La necesidad es clara: Si $A$ es un átomo, entonces para algún real $c$ tendremos $P(U=c)\ge P(A)>0$.

Para demostrar la suficiencia, observe que, por el (proceso de) teorema de Sierpinski sobre medidas no-atómicas, existe una familia no decreciente $(A_t)_{t\in[0,1]}$ en $\F$ tal que $P(A_t)=t$ para todo $t\in[0,1]$; sin pérdida de generalidad, $A_1=\Om$.

Para cada $\om\in\Om$, ahora sea $$U(\om):=\inf\{t\in[0,1]\colon\om\in A_t\}.$$ Entonces para cada $s\in[0,1)$ $$U^{-1}([0,s])=\bigcap_{n=1}^\infty A_{\min(1,s+1/n)},$$ por lo que $U$ es $\F$-medible y $$P(U^{-1}([0,s]))=\lim_{n\to\infty}P(A_{\min(1,s+1/n)})=s.$$ Así, $U$ es una v.a. en $(\Om,\F,P)$ que está uniformemente distribuida en $[0,1]$. $\quad\Box$