En mi clase de teoría de números algebraicos definimos las sumas de Gauss de la siguiente manera. Sin embargo, tengo bastante dudas sobre si esta definición es correcta. Mi intuición me dice "hay algún error en alguna parte". Intenté verificarlo con el libro de Pierre Samuel (§5.5, página 78), pero Samuel utiliza una notación ligeramente diferente.
Si de hecho hay un error en mi definición, ¿podría alguien ser tan amable de darme una definición limpia (estándar) de las sumas de Gauss?
Creo que $\zeta$ debería ser una raíz primitiva $q$-ésima (no $p$-ésima) de la unidad. En característica $p$, la única raíz $p$-ésima de la unidad es la unidad. Eso se debe a que $x^p-1=(x-1)^p$ en característica $p$; los términos cruzados que normalmente esperarías tienen coeficientes que son divisibles por $p$ y por lo tanto se anulan en característica $p.
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