Cómo combinar diferentes órdenes parciales (Poset)

Question

Dados dos posets $\prec_A$ y $\prec_B$ donde $A\neq B$ y $A\cap B\neq \emptyset$, ¿hay alguna manera de combinarlos preservando la información exacta que exhiben - es decir, la relación de dominancia ($x\prec y$) e incomparabilidad?
(es decir, si $x$ e $y$ son incomparables en $\prec_A$ entonces son incomparables en $\prec_{AB}$)?

Answer 1

Si $A\cap B=\varnothing$ puedes definir un orden $<$ en $A\cup B$ por $x

1. $x,y\in A$ y $x\prec_A y$.
2. $x,y\in B$ y $x\prec_B y$.

Esto preservará la comparabilidad. Un diagrama para este orden se puede obtener colocando el diagrama para $A$ en el mismo plano que $B.

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Nuevamente asumiendo que $A\cap B=\varnothing$, puedes definir un orden $\ll$ en $A\cup B$ por $x\ll y$ si, y solo si:

1. $x,y\in A$ y $x\prec_A y
2. $x,y\in B$ y $x\prec_B y$.
3. $x\in A$ y $y\in B$

Esto también preservará la comparabilidad. Un diagrama para este orden se puede obtener colocando el diagrama para $A$ debajo del diagrama para $B$ y conectando los elementos maximales de $A$ con los elementos minimales de $B si existen.

Answer 2

Ejemplo donde la combinación de 2 Posets no es un Poset:

• A={{1},{2,3},{4,5}}=SA y B={{2,3},{5,6},{7}}=SB
• (SA||SB)={{1},{2,3},{2,3},{4,5},{5,6},{7}} no es igual a ()

donde :

• \={1,2,3,4,5,6,7}
• SA||SB siendo la concatenación de SA con SB
• SA||SB={{1},{2,3},{4,5},{2,3},{5,6},{7}}
• (SA||SB) siendo la concatenación ordenada de SA y SB