¿Es $\;\frac{\ln(x+1)}x\;$ uniformemente continuo en $\;[0,\infty)\;$?

Question

Tengo este problema: es la función

$$f(x)=\frac{\ln(x+1)}x$$

uniformemente continua en $\;[0,\infty)\;$?

Primero, creo que podría decir que cero ni siquiera está en el dominio de la función, pero puedo mostrar que es una discontinuidad derecha móvil ya que $\;f(x)\to 1\;$ cuando $\;x\to 0^+\;$, así que supongo que podemos tener la función definida allí (¿es esto cierto?)

Ahora, para la continuidad uniforme: es posible mostrar que

$$f'(x)=\frac{ x-(x+1)\ln(x+1)}{x^2(x+1)}<0\;\;en\;\; [0,1]\;$$

y la función decrece de forma monótona, y también tenemos que usando LHospital

$$f'(x)\xrightarrow[x\to 0^+]{}-\frac12$$

$$f'(x)\xrightarrow[x\to \infty]{}0$$

Así que creo que la primera derivada está acotada y luego obtengo continuidad uniforme.

¿Es lo anterior correcto? Cualquier cosa que tengas que decir al respecto te lo agradeceré mucho

Answer 1

Tienes $f'(x) = {x - (x+1)\log(x+1) \over x^2(x+1)}$. Es claro que $f'(x) \to 0$ cuando $x \to \infty$. Usando L'Hôpital tenemos que $f'(x) \to - {1 \over 2}$ cuando $x \downarrow 0$. Dado que $f'$ es continua en $(0,\infty)$, podemos ver que $f'$ está acotada, es decir, $|f'(x)| \le M$ para algún $M.

Entonces, el teorema del valor medio nos da $|f(x)-f(y)| = |f'(\xi)| |x-y| \le M |x-y|$, y así $f$ es Lipschitz continua.

En particular, dado $\epsilon>0$, si $|x-y|< {1 \over M}\epsilon$, entonces $|f(x)-f(y)| < \epsilon$.