¿Por qué $(-2)^{2.5}$ no es igual a $((-2)^{25})^{1/10}?\,$ [Potencias fraccionarias de números negativos]

Question

He probado ambas calculaciones en Wolfram Alpha y devuelve resultados diferentes, pero no logro entender por qué es así. Desde mi punto de vista, ambas calculaciones deberían ser iguales, ya que $2.5=25/10,$ y $(-2)^{2.5}$ es igual a $(-2)^{25/10},$ basándose en una regla general $(a^m)^n=a^{mn}$.

Enlaces a las fuentes:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-2)%5E(2.5)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((-2)%5E(25))%5E(1%2F10)%5E(1%2F10))

Answer 1

En general, las potencias secuenciales y las extracciones de raíces no son conmutativas entre los números complejos. Si $c_1$, $c_2$ y $c_3$ son números complejos, $(c_1^{c_2})^{c_3}$ no siempre es igual a $(c_1^{c_3})^{c_2}$.

Por ejemplo, $\sqrt{(-1)^3}=\sqrt{-1}=i$, si $i^2=-1$, pero $(\sqrt{-1})^3=i^3=-i\neq-1$.

Siempre es conmutativo en el caso especial de los números reales positivos. Para exponentes racionales positivos, es siempre conmutativo para todas las bases reales no negativas. También es siempre conmutativo si las bases son números reales distintos de cero y todos los exponentes son números racionales cuyo denominador en términos más bajos es un número impar. Si todos los exponentes son positivos, entonces es conmutativo para todas las bases reales. Si los exponentes son enteros, entonces es conmutativo para todas las bases complejas.

Un patrón similar se puede observar respecto a la multiplicación de cuaterniones. Sea $i^2=J^2=k^2=ijk=-1$. Entonces $ij=k$, mientras que $ji=-k$, por lo que la multiplicación no es siempre conmutativa entre cuaterniones. Pero la multiplicación es conmutativa entre los números complejos, que son un subconjunto de los cuaterniones.

En este ejemplo específico, $2.5=\frac52$. El denominador del exponente $2$ es un número par, por lo que no hay conmutatividad con las potencias secuenciales/extracciones de raíces, ya que $-2$ no es un número real no negativo.