He probado ambas calculaciones en Wolfram Alpha y devuelve resultados diferentes, pero no logro entender por qué es así. Desde mi punto de vista, ambas calculaciones deberían ser iguales, ya que $2.5=25/10,$ y $(-2)^{2.5}$ es igual a $(-2)^{25/10},$ basándose en una regla general $(a^m)^n=a^{mn}$.
Enlaces a las fuentes:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-2)%5E(2.5)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=((-2)%5E(25))%5E(1%2F10)%5E(1%2F10))
J.W. Tanner ha comunicado el punto principal y proporcionado algunos enlaces a preguntas que brindan más detalles. Me gustaría intentar contar la historia (principalmente) completa en un solo lugar.
Recuerde que la definición estándar de $a^b$ para $a \in \mathbb{R}_{>0}$, $b\in \mathbb{R}$ es
$$a^b := e^{b\ln(a)}$$
Donde la función exponencial puede definirse de varias formas-- a través de su serie de potencias, como la solución a la ecuación diferencial $y'=y$, o como la inversa del logaritmo natural (que, a su vez, se define como la integral $\ln(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt$). A partir de esta definición, es claro que $b\ln(a)=\ln(a^b)$, por lo que tenemos
$$a^{bc} = e^{bc\ln(a)}=e^{c\ln(a^b)}=(a^b)^c$$
Sin embargo, para $a \leq 0$, esta definición nos obliga a dar sentido a $\ln(a)$, y la definición de la integral mencionada anteriormente diverge. ¿Cómo podríamos hacer esto? Dado que estamos tratando de comprender la exponenciación de números negativos, seguramente debemos incluir el caso de $(-1)^{1/2} = \pm i \in \mathbb{C}$, por lo que no podemos evitar trabajar en el plano complejo. Si queremos intentar extender nuestra definición anterior de $a^b$, entonces, nos vemos obligados a enfrentar la extensión de la función exponencial al plano complejo. Afortunadamente, la definición de la serie de potencias de la función exponencial se extiende naturalmente al plano complejo, y a partir de ella podemos derivar fácilmente la identidad de Euler, que establece
$$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$$
para $\theta \in \mathbb{R}$, por lo que $e^{i\theta}$ es un punto en el círculo unitario en un ángulo $\theta$ desde el eje real positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. En particular, vemos que todo número complejo distinto de cero $z$ puede escribirse de manera única como $z=re^{i\theta}$ para algún $r \in \mathbb{R}_{>0}$ y $-\pi < \theta \leq \pi$. Si queremos que una propiedad definitoria de nuestra extensión del logaritmo natural sea que la función exponencial lo invierte (lo cual es mejor, si la fórmula original siempre debe devolver $a^1=a$), entonces, una forma de definir el logaritmo natural de $z$ es $\ln(z) := \ln(r)+i\theta$, ya que esto da como resultado $$e^{\ln(z)}=e^{\ln(r)+i\theta}=re^{i\theta}=z$$ como se deseaba. Tenga en cuenta que $z=r$ y $\theta=0$ si $z$ es real y positivo, por lo que esta es realmente una extensión del logaritmo natural habitual.
Sin embargo, esta elección no fue única-- tuvimos que restringir $-\pi < \theta \leq \pi$ para hacer esta definición. Si nuestra propiedad definitoria es simplemente la inversión por la función exponencial, está claro que $\ln(z)=\ln(r)+i(\theta+2\pi n)$ también funciona igual de bien para cualquier entero $n$, y en general se podría definir un logaritmo natural restringiendo en su lugar a cualquier intervalo de longitud $2\pi$ que deseemos, incluso haciendo que el intervalo sea una función de $r$-- hacer esta elección se llama elegir una rama del logaritmo. La definición original que di se llama la rama principal, y esto es lo que la mayoría de calculadoras como Wolfram Alpha utilizarán. Volviendo a nuestra definición de $a^b$ y declarándola verdadera para cualquier $a,b \in \mathbb{C}$, vemos que el resultado depende de nuestra elección de rama. Esto es lo que la gente quiere decir cuando dicen que la exponenciación no está definida de manera única en $\mathbb{C}$.
Ahora, veamos finalmente qué sale mal en tu ejemplo al usar la rama principal del logaritmo para definir $(-2)^{2.5}$ y $((-2)^{25})^{1/10}$. Tenemos que $$(-2)^{2.5}=e^{2.5\ln(-2)}=e^{2.5(\ln(2)+i\pi)}=e^{2.5\ln(2)+2.5\pi i}=e^{2.5\ln(2)}e^{i\frac{\pi}{2}} = 2^{2.5}i,$$ mientras que $$((-2)^{25})^{1/10}=(-2^{25})^{1/10} = e^{\frac{1}{10}\ln(-2^{25})} = e^{\frac{1}{10}(\ln(2^{25})+i\pi)} = 2^{2.5}e^{i\pi/10} = 2^{2.5}(\cos(\pi/10)+i\sin(\pi/10)),$ y estos son claramente diferentes. Este ejemplo demuestra precisamente que, en general, la identidad $a^{bc}=(a^b)^c$ no se cumple si $a$ no es un número real positivo, y de manera similar se puede ver que esta identidad se rompe si $b$ no es real, incluso si $a \in \mathbb{R}_{>0}$.
Como señaló @J. W. Tanner en su comentario, $a^{m/n}$ no está definido en $\mathbb{R}$ cuando $a<0$ (y no está definido de forma única en $\mathbb{C}$ para todos los $a$s). Por eso, los programas usualmente se equivocan con cosas como $(-2)^{2.5} = (-2)^{5/2}$.
Ahora, debes preguntarte por qué $a^{m/n}$ no está definido en $\mathbb{R}$ cuando $a<0$. La motivación de este hecho no es trivial, y depende de la importancia que los matemáticos han atribuido a identidades de exponenciación como $(a^x)^y = a^{xy}$ o $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$.
Como deberías saber, la potencia $a^{1/n}$ (con $a\geq 0$ y $n \in \mathbb{N}$) se define a través del siguiente teorema:
Para cada $a \geq 0$ y $n \in \mathbb{N}$, existe un único $\alpha \geq 0$ tal que $\alpha^n = a$.
A dicho $\alpha$ se le llama la raíz aritmética $n$-ésima de $a$ y se denota con $\sqrt[n]{a}$ o $a^{1/n}$.
cuya prueba depende en gran medida de la completitud de $\mathbb{R}$. Este teorema te permite definir la potencia fraccionaria $a^{m/n}$ con $a\geq 0$ (o $a > 0$ cuando $m/n < 0$) permitiendo que:
$$a^{m/n} := \sqrt[n]{a^m}\quad \text{(o de manera equivalente } a^{m/n} := (\sqrt[n]{a})^m \text{)}$$
para cada $m/n \in \mathbb{Q}$ (es fácil demostrar que $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$, por lo tanto, la definición no depende del orden de aplicación de la potencia $m$-ésima y la raíz $n$-ésima).
¿Qué sucede si se elimina la restricción $a\geq 0$? El teorema no puede seguir siendo cierto para cada valor del exponente $n \in \mathbb{N}$: en particular, si $n$ es par (es decir, $n=2,4,6,\ldots$) entonces $\alpha^n \geq 0$ para todo $\alpha \in \mathbb{R}$, por lo tanto, la igualdad $\alpha^n = a < 0$ es imposible para $n$ pares. Por otro lado, la situación para $n$ impares es directa:
Cuando $n \in \mathbb{N}$ es impar (es decir, $n=1,3,5,\ldots$), para cada $a<0$ existe solo un $\alpha < 0$ tal que $\alpha^n = a$, específicamente:
$$\alpha = -\sqrt[n]{-a}\quad \text{(o de manera equivalente } \alpha = -\sqrt[n]{|a|}\text{)}\; . $$
La declaración anterior te permite definir la raíz aritmética $n$-ésima de $a$ también cuando $a<0$ y $n \in \mathbb{N}$ es impar mediante la siguiente asignación:
$$\tag{*} \sqrt[n]{a} := - \sqrt[n]{-a}\; ,$$
¡pero no te permite definir la potencia fraccionaria $a^{1/n}$, ni $a^{m/n}$ cuando $a<0$!
De hecho, sucede que la definición de potencia racional con base $a<0$ (mediante $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$) es incompatible con las identidades usuales de exponenciación, es decir, provoca fallas en las reglas usuales como $(a^x)^y = a^{xy}$. Para ver esto, considera $a=-1$ y usa (*) para obtener:
$$(-1)^{1/3} = \sqrt[3]{-1} \stackrel{\text{def.}}{=} - \sqrt[3]{-(-1)} = -\sqrt[3]{1} = -1\; ;$$
si las identidades usuales de exponenciación estuvieran en vigor entonces obtendrías:
$$-1 = (-1)^{1/3} = (-1)^{2/6} = \left[ (-1)^2 \right]^{1/6} = \left[ 1 \right]^{1/6} = 1$$
lo cual es claramente incorrecto (¡porque $-1 \neq 1$!), o rarezas como:
$$-1 = (-1)^{1/3} = (-1)^{1/6 + 1/6} = (-1)^{1/6} \cdot (-1)^{1/6}$$
cuyo lado derecho no tiene ningún significado en absoluto.
Por lo tanto, hay un problema aquí: las potencias fraccionarias con base negativa y las identidades usuales de exponenciación no encajan juntas.
Los matemáticos piensan que es mucho mejor elegir que las identidades de exponenciación se mantengan sobre la posibilidad de dar una definición al símbolo $a^{m/n}$ con $a<0$, porque las identidades son de fundamental importancia y casi ubícuas en cada tipo de cálculo posible. ;-)
Cuando $a$ no es un número real no negativo y $n$ no es un entero, el número $a^{n}$ no está definido de manera única. Esto se debe a que podríamos definir el número $\sqrt{-1}$ como un número complejo $z$ de manera que $z^2=-1$, pero el problema es que $z$ no es único. En particular, podríamos tener $z=i$ o $z=-i$. De manera similar, números como $\sqrt[3]{-2}$ tampoco son únicos, pudiendo tener múltiples valores posibles. Es por esto que Wolfram te dio dos resultados diferentes para lo que debería parecer la misma expresión--ya que los valores complejos de las expresiones no están determinados de manera única.
Usted asume que la exponenciación de números reales por números reales satisface $a^{p \cdot q}= (a^p)^q$. Sin embargo, no es tan simple. Es cierto para cualquier $a \in \mathbb R$ y cualquier $p,q \in \mathbb N$. Pero ¿qué es $a^x$ para un $x$ no entero? Para $a > 0$ hay varios enfoques para definirlo.
(a) $a^x = e^{x \ln a}$ para todo $x \in \mathbb R$.
(b) $a^{r/s} = \sqrt[s]{a^r}$ para todo $r/s \in \mathbb Q$ donde entendemos $s \in \mathbb N$.
El segundo enfoque se puede usar para definir $a^x$ como $\lim_{r/s \to x} a^{r/s}$, pero esto requiere trabajo.
Para $a >0$ ambos enfoques dan como resultado $a^{x \cdot y}= (a^x)^y$ para $x,y \in \mathbb R$ y $x,y\in \mathbb Q$.
Para $a < 0$ surgen problemas. El primer enfoque falla porque $\ln a$ no está definido (como un número real). El segundo enfoque tiene problemas graves:
(1) Solo puede funcionar cuando $r$ es par o $s$ es impar, de lo contrario se obtiene algo indefinido (al menos si se desea un valor real para $a^{r/s}$).
(2) Si ambos $r,s$ son pares, entonces la raíz $s$-ésima tiene dos posibles valores (uno positivo y uno negativo). Puede pensarse que siempre deberíamos elegir el valor positivo, pero las consecuencias serían desagradables como se verá en el siguiente punto.
(3) Deberíamos esperar que $a^{r/s} = a^{u/v}$ si $r/s = u/v$. Pero si ambos $r, s$ son impares, entonces $a^{r/s}$ es negativo mientras que $a^{2r/2s}$ es positivo.
Siempre elegir el valor negativo para la raíz $s$-ésima, $s$ par, produce el mismo problema (considerar $r$ par, $s$ impar). Y elegir de manera ad hoc no puede ser un enfoque serio.
Por lo tanto, si $a < 0$, no se puede esperar que $a^{x \cdot y}= (a^x)^y$ sea verdad sin importar cómo se defina $a^{r/s}$. Aquí hay un ejemplo, similar a su pregunta:
$$((-1)^2)^{1/2} = 1^{1/2}= \sqrt{1} = 1 \ne (-1)^{2 \cdot 1/2} = (-1)^1 = -1$$ si elegimos la raíz positiva.
La lección es: tenga cuidado al usar $a^{x \cdot y}= (a^x)^y$.
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