¿Cuál es el centro de la elipse dada por $||Ax-x_c||_2\leq 1$?

Question

¿Cuál es el centro de la elipse dada por $||Ax-x_c||_2\leq 1$? (Plano cartesiano, $x\in\mathbb{R^2}$)

Pensé que para encontrar el centro necesito igualar la norma a cero y luego tenemos $x=A^{-1}x_c$ (asumiendo que $A$ es invertible). Sin embargo, cuando grafico la elipse y el punto $A^{-1}x_c$, no parece ser un centro.

Answer 1

¿Por qué no? Sea $$E=\{x:\|Ax-x_c\|_2=1\}$$ la (frontera de la) elipse. Entonces $c$ es el centro de $E$ si (y solo si) $$x_1\in E\implies x_2=c-(x_1-c)=2c-x_1\in E,$$ es decir, la elipse es simétrica con respecto al punto $c$.

Tomemos $c:=A^{-1}x_c$ y verifiquemos si obtenemos la propiedad satisfecha. Si $x_1\in E$, es decir, $\|Ax_1-x_c\|_2=1$, entonces claramente $$\begin{split} \|Ax_2-x_c\|_2&=\|A(2c-x_1)-x_c\|_2=\|A(2A^{-1}x_c-x_1)-x_c\|_2\\&=\|x_c-Ax_1\|_2=\|Ax_1-x_c\|_2=1,\end{split}$$ entonces $x_2\in E$. Por lo tanto, $A^{-1}x_c$ es realmente el centro de $E$.

Deberías revisar nuevamente tu código de graficación.