Muestra que $\mu (\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n) \leq \inf_{n\in \mathbb{N}} \mu(B_n)$

Question

Sea $(X,\mathcal{E},\mu)$ un espacio de medida, y $(B_n)\subseteq \mathcal{E}$.

Quiero demostrar que $\mu (\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n )\leq \inf_{n\in \mathbb{N}} \mu(B_n)$. Y he hecho lo siguiente: Dado que $\cap_{n\in \mathbb{N}}B_n \subseteq B_n \forall n\in \mathbb{N}$ obtenemos que $$\mu\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)\leq \mu (B_n)$$ Y ahora simplemente puedo insertar $\inf$ en el lado derecho, pero ¿no entiendo por qué? ¿Podría alguien explicarme por qué esto es cierto?

Ahora supongamos que $(B_n)$ es una secuencia decreciente. ¿Podría alguien ayudarme a demostrar que $$\mu\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_n\right)\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\mu(B_n)$$

Answer 1

Puedes insertar $\inf$ en la primera desigualdad porque se cumple para todo $n$. Para la segunda parte, utilizas la primera: si $(B_n)_{n \in \Bbb N}$ es decreciente, entonces $(\mu(B_n))_{n \in \Bbb N}$ es una secuencia decreciente de números reales, acotada por debajo, y así $$\lim_{n\to+\infty}\mu(B_n) = \inf_{n \in \Bbb N}\mu(B_n).$$