¿Es cada grupo el grupo unidad de algún anillo?

Question

Deje que el funtor $F\colon\bf Ring\rightarrow\bf Grp$ envíe el anillo $A$ a su grupo de unidades $A^\times,$ y el homomorfismo de anillos $f\colon A\rightarrow B$ al homomorfismo de grupos $f^\times\colon A^\times\rightarrow B^\times:a\mapsto f(a)$.

Estaba curioso sobre este funtor, y en particular, si es esencialmente sobreyectivo. Es decir, ¿para cualquier grupo $G$ (no solo finitos,) existe un anillo $A$ tal que $G\cong A^\times$? Si no, ¿qué grupos $G$ satisfacen esto? Una pregunta similar fue planteada en esta pregunta, pero ¿qué se puede decir para grupos infinitos, o grupos en general? Llamando grupos que satisfacen esta condición R-grupos, he demostrado que cualquier grupo abeliano finitamente generado es un R-grupo.

No tengo idea de qué hacer a partir de ahora, pero tengo la conjetura de que el grupo de unidades del anillo de grupo $\mathbb F_2[G]$ es isomorfo a $G.$ Si esto es cierto, ciertamente, todos los grupos son R-grupos, y el funtor $F$ es esencialmente sobreyectivo, pero estoy teniendo problemas para probarlo. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

No, esto ya es falso para grupos abelianos finitos.

Un anillo tiene característica $ 2 $ o tiene una unidad no identidad $ -1 $ que es central de orden $ 2 $, por lo que si un grupo $ G $ no tiene tal elemento entonces solo puede surgir como el grupo de unidades de un anillo de característica $ 2 $.

Sea $ R $ tal anillo y considere un elemento $ r \in R ^{\times} $ de orden primo impar $ p $. (Editar: ¡Hubo un argumento descuidado aquí con un error que ahora ha sido corregido, dos veces!) Genera un subanillo de $ R $ dado por algún cociente del álgebra de grupo $\mathbb{F}_2[C_p]$ en la que se incrusta $ C_p $. Por el teorema de Maschke, $\mathbb{F}_2[C_p]$ es semisimple y, por lo tanto, un producto finito de campos finitos $\mathbb{F}_{2^k}$, y $ C_p $ se incrusta en algún $\mathbb{F}_{2^k}$ si y solo si $ p | 2^k - 1 $.

Entonces $ R^{\times} $ tiene un elemento de orden $ 2^k - 1 $ donde $ k $ satisface $ p | 2^k - 1 $. Por lo tanto:

Cualquier grupo $ G $ que

1. no tiene un elemento central de orden $ 2 $ y
2. tiene un elemento de orden primo impar $ p $ pero no tiene un elemento de orden $ 2^k - 1 $ que satisfaga $ p | 2^k - 1 $

no es el grupo de unidades de un anillo.

El grupo más pequeño de este tipo es el grupo cíclico $ C_5 $ (mencionado por diracdeltafunk en los comentarios), que tiene orden impar y por lo tanto no tiene elementos de orden $ 2 $, y que tiene un elemento de orden $ 5 $, pero no tiene un elemento de orden $ 2^4 - 1 = 15 $ o más grande. (Y los grupos cíclicos $ C_2, C_3, C_4 $ son los grupos de unidades de los campos finitos $\mathbb{F}_3, \mathbb{F}_4, \mathbb{F}_5$.)

Véase también la clasificación descrita por Jack Schmidt en la respuesta enlazada por lhf en los comentarios.

Answer 2

Su afirmación sobre $\mathbb{F}_2[G]$ es incorrecta. Considere cuando $G = \mathbb{Z}_5$, generado por algún elemento $a$ con $a^5 = e$. Entonces,

$$(e + a^2 + a^3)(e + a + a^4) = (e + a^2 + a^3) + (a + a^3 + a^4) + (a^4 + a + a^2) = e + (a+a) + (a^2+a^2) + (a^3+a^3) + (a^4+a^4) = e$$

Entonces, el grupo de unidades de $\mathbb{F}_2[G]$ incluye la inclusión natural de $G$, pero también incluye $e + a^2 + a^3$, como se muestra arriba.

Para referencia sobre cómo encontré este ejemplo: Puedo llamar "peso" de un elemento en $\mathbb{F}_2[G]$ al número de coeficientes no nulos, por lo que ambos elementos anteriores tienen peso 3, mientras que $e+a$ tiene peso 2. Claramente los pesos se multiplican, así que si queremos terminar con un elemento de peso impar como $e$, debemos empezar con dos elementos de peso impar; y no queremos usar elementos de peso 1. Por lo tanto, necesitamos $|G|$ al menos 3. Con $G = \mathbb{Z}_3$, solo hay un elemento con peso impar mayor que 1, y no cuadra con $e$. Así que pasé a $\mathbb{Z}_5$ y funcionó.

Answer 3

El funtor del grupo de unidades no es "sobreyectivo".

Sin embargo, tenemos una adjunción, que es lo más parecido a un inverso categórico, considerando el anillo de grupo asociado a un grupo dado. $\mathcal R[G] $, informalmente, consiste en todas las combinaciones lineales de elementos de $G $, ponderadas por elementos del anillo $\mathcal R $. Así obtenemos un funtor de $\bf {Grp} $ a la categoría $\bf {\mathcal R-Alg} $ de $\mathcal R $-álgebras.